Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2020

a) Un electrón se mueve por una región del espacio donde existen campos eléctrico y magnético uniformes, de forma que la fuerza neta que actúa sobre el electrón es nula. i) Discuta razonadamente, con la ayuda de un esquema, cómo deben ser las direcciones y sentidos de los campos. ii) Determine la expresión del módulo de la velocidad de la partícula para que esto ocurra. [1 punto]

b) Tenemos dos conductores rectilíneos verticales y muy largos, dispuestos paralelamente y separados 3,5 m. Por el primero circula una intensidad de 3 A hacia arriba. i) Calcule razonadamente el valor y el sentido de la corriente que debe circular por el segundo conductor para que el campo magnético en un punto situado entre los dos conductores y a 1,5 m del primero sea nulo. ii) Realice un esquema representando las magnitudes implicadas. [1,5 puntos]

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) Un electrón se mueve por una región del espacio donde existen campos eléctrico y magnético uniformes, de forma que la fuerza neta que actúa sobre el electrón es nula. i) Discuta razonadamente, con la ayuda de un esquema, cómo deben ser las direcciones y sentidos de los campos. ii) Determine la expresión del módulo de la velocidad de la partícula para que esto ocurra. [1 punto]}$










i) Sobre el electrón actúa la fuerza de Lorentz, suma de la eléctrica y la magnética:

$\vec F = q\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B)$

Para que la fuerza neta sea nula, las dos han de tener el mismo módulo y sentidos opuestos.





La fuerza magnética es perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético, por ser un producto vectorial. Y como la fuerza eléctrica ha de ser opuesta a ella, también resulta perpendicular a la velocidad y al campo magnético. Al ser la fuerza eléctrica paralela al campo eléctrico, salvo el signo, se concluye que los tres vectores han de ser perpendiculares dos a dos: la velocidad, el campo eléctrico y el campo magnético.

Además, el campo magnético ha de ser perpendicular a la velocidad para que la fuerza magnética no sea nula. Y los sentidos han de ser tales que las dos fuerzas se opongan; obsérvese que, al ser el electrón negativo, la fuerza eléctrica tiene sentido contrario al campo eléctrico.

ii) Con la velocidad perpendicular al campo magnético, el módulo de la fuerza magnética es $|q|\,v\,B$. Igualando los dos módulos:

$|q|\,E = |q|\,v\,B$

$v = \frac{E}{B}$

Solo las partículas cuya velocidad valga exactamente el cociente entre los dos campos atraviesan la región sin desviarse. Este montaje es el selector de velocidades, y la condición no depende del signo ni del valor de la carga.

$\textbf{b) Tenemos dos conductores rectilíneos verticales y muy largos, dispuestos paralelamente y separados 3,5 m. Por el primero circula una intensidad de 3 A hacia arriba. i) Calcule razonadamente el valor y el sentido de la corriente que debe circular por el segundo conductor para que el campo magnético en un punto situado entre los dos conductores y a 1,5 m del primero sea nulo. ii) Realice un esquema representando las magnitudes implicadas. [1,5 puntos]}$










i) El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ viene dado por la ley de Biot-Savart:

$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$

El punto está entre los dos conductores, a 1,5 m del primero y por tanto a:

$r_2 = 3{,}5 - 1{,}5 = 2\ \text{m}$

del segundo.





ii) Para que el campo total se anule, los dos campos han de tener sentidos opuestos en ese punto. Aplicando la regla de la mano derecha, el campo del primer conductor entra en el papel a su derecha, mientras que el del segundo sale del papel a su izquierda solo si su corriente circula también hacia arriba. La corriente del segundo conductor debe ir, por tanto, en el mismo sentido que la del primero.

Imponiendo ahora la igualdad de los módulos:

$\frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,r_1} = \frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,r_2}$

$\frac{I_1}{r_1} = \frac{I_2}{r_2} \Rightarrow I_2 = I_1\,\frac{r_2}{r_1} = 3\cdot\frac{2}{1{,}5}$

$I_2 = 4\ \text{A}$

Por el segundo conductor debe circular una corriente de 4 A hacia arriba, es decir, en el mismo sentido que la del primero. Es coherente con la geometría: el punto está más lejos del segundo hilo, así que este necesita más intensidad para crear allí el mismo campo.