Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique la respuesta. [1 punto]

b) Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma $30^\circ$ con la horizontal, con una velocidad inicial de $5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. El coeficiente de rozamiento es 0,2. i) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando sube y cuando baja por el plano. Determine, mediante consideraciones energéticas: ii) la altura máxima que alcanza el cuerpo; iii) la velocidad con la que vuelve al punto de partida. [1,5 puntos]

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.

$\textbf{a) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique la respuesta. [1 punto]}$

No, no se cumple siempre. La igualdad solo es cierta cuando sobre el cuerpo actúan exclusivamente fuerzas conservativas.

Se ve con el teorema de la energía mecánica, que reparte el trabajo total entre el de las fuerzas conservativas y el de las no conservativas:

$W_{\text{total}} = \Delta E_c \qquad W_{\text{cons}} = -\Delta E_p$

$\Delta E_c = -\Delta E_p + W_{\text{no cons}}$

Si solo actúan fuerzas conservativas, el último término desaparece:

$W_{\text{no cons}} = 0 \Rightarrow \Delta E_c = -\Delta E_p$

y entonces sí se cumple que el aumento de energía cinética iguala exactamente a la disminución de energía potencial. Es el principio de conservación de la energía mecánica, y es lo que ocurre en una caída libre o en el movimiento de un planeta.

Pero si además actúa alguna fuerza no conservativa que realice trabajo, la igualdad se rompe. Con rozamiento, por ejemplo, el trabajo no conservativo es negativo y:

$\Delta E_c = -\Delta E_p + W_r < -\Delta E_p$

El aumento de energía cinética es menor que la disminución de energía potencial, porque parte de la energía se disipa en forma de calor. Y si la fuerza no conservativa es motriz, con trabajo positivo, ocurre lo contrario y el aumento de energía cinética es mayor.

$\textbf{b) Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma }\boldsymbol{30^\circ}\textbf{ con la horizontal, con una velocidad inicial de }\boldsymbol{5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. El coeficiente de rozamiento es 0,2. i) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando sube y cuando baja por el plano. Determine, mediante consideraciones energéticas: ii) la altura máxima que alcanza el cuerpo; iii) la velocidad con la que vuelve al punto de partida. [1,5 puntos]}$
















i) En los dos tramos actúan el peso, la normal y el rozamiento. La normal es siempre perpendicular al plano y equilibra la componente del peso en esa dirección, de modo que no realiza trabajo. Lo que cambia es el rozamiento: al subir se opone al movimiento y apunta hacia abajo del plano, y al bajar apunta hacia arriba.

En los dos casos la normal y el rozamiento valen:

$N = m\,g\,\cos 30^\circ = 0{,}5\cdot9{,}8\cdot0{,}866 = 4{,}24\ \text{N}$

$F_r = \mu\,N = 0{,}2\cdot4{,}24 = 0{,}849\ \text{N}$

ii) El rozamiento es la única fuerza no conservativa, así que su trabajo es igual a la variación de energía mecánica. Llamando $L$ a la distancia recorrida a lo largo del plano y tomando como origen de alturas el punto de partida:

$-\mu\,m\,g\,\cos 30^\circ\,L = m\,g\,L\,\operatorname{sen}30^\circ - \frac12\,m\,v_0^2$

Se simplifica la masa y se despeja la distancia:

$L = \frac{\frac12\,v_0^2}{g\,(\operatorname{sen}30^\circ + \mu\,\cos 30^\circ)} = \frac{12{,}5}{9{,}8\,(0{,}5 + 0{,}173)}$

$L = 1{,}89\ \text{m}$

Y de ahí la altura máxima:

$h = L\,\operatorname{sen}30^\circ = 1{,}89\cdot0{,}5 = 0{,}947\ \text{m}$

iii) En la bajada el cuerpo recorre la misma distancia $L$, pero el rozamiento ha cambiado de sentido. Su trabajo vuelve a ser negativo y del mismo valor:

$\frac12\,m\,v^2 - m\,g\,h = -\mu\,m\,g\,\cos 30^\circ\,L$

$\frac12\,v^2 = 9{,}8\cdot0{,}947 - 0{,}2\cdot9{,}8\cdot0{,}866\cdot1{,}89 = 9{,}28 - 3{,}22$

$v = \sqrt{2\cdot6{,}07} = 3{,}48\ \text{m/s}$

El cuerpo sube 0,947 m de altura y regresa al punto de partida con 3,48 m/s, bastante menos que los 5 m/s con los que salió. La diferencia es la energía que el rozamiento ha disipado en los casi cuatro metros de recorrido total.