Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2020

a) Dos partículas de diferente masa tienen asociada una misma longitud de onda de De Broglie. Sabiendo que la energía cinética de una de ellas es el doble que la otra, determine la relación entre sus masas. [1 punto]

b) Se acelera un protón desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Determine: i) la velocidad que adquiere el protón; ii) su longitud de onda de De Broglie. [1,5 puntos]

Datos: $m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Dos partículas de diferente masa tienen asociada una misma longitud de onda de De Broglie. Sabiendo que la energía cinética de una de ellas es el doble que la otra, determine la relación entre sus masas. [1 punto]}$

Según la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula depende únicamente de su momento lineal:

$\lambda = \frac{h}{p}$

Si las dos partículas tienen la misma longitud de onda, tienen también el mismo momento lineal:

$\lambda_1 = \lambda_2 \Rightarrow p_1 = p_2 = p$

Conviene ahora escribir la energía cinética en función del momento lineal, que es la magnitud que comparten:

$E_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac{p^2}{2\,m}$

Con el mismo momento lineal, la energía cinética es inversamente proporcional a la masa. Dividiendo las dos expresiones:

$\frac{E_{c,1}}{E_{c,2}} = \frac{m_2}{m_1}$

Y como por hipótesis la energía cinética de la primera es el doble que la de la segunda:

$2 = \frac{m_2}{m_1} \Rightarrow m_2 = 2\,m_1$

La partícula con más energía cinética es la de menor masa: su masa es la mitad de la de la otra. Puede parecer contraintuitivo, pero con el mismo momento lineal la partícula ligera se mueve mucho más deprisa, y la energía cinética depende del cuadrado de la velocidad.

$\textbf{b) Se acelera un protón desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V. Determine: i) la velocidad que adquiere el protón; ii) su longitud de onda de De Broglie. [1,5 puntos]}$

i) El protón parte del reposo, de modo que todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética:

$e\,\Delta V = \frac12\,m_p\,v^2$

$E_c = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1000 = 1{,}6\cdot10^{-16}\ \text{J}$

Despejando la velocidad:

$v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}} = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-16}}{1{,}7\cdot10^{-27}}}$

$v = 4{,}34\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

ii) Con la velocidad ya conocida, se aplica la hipótesis de De Broglie:

$\lambda = \frac{h}{m_p\,v} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot4{,}34\cdot10^{5}}$

$\lambda = 8{,}99\cdot10^{-13}\ \text{m}$

El protón sale con una velocidad de $4{,}34\cdot10^{5}\ \text{m/s}$, apenas un 0,14 % de la velocidad de la luz, lo que justifica no haber usado expresiones relativistas. Su longitud de onda asociada, del orden de $10^{-12}\ \text{m}$, es unas cien veces menor que el tamaño de un átomo: mucho más pequeña que la de un electrón acelerado por el mismo potencial, porque el protón es unas 1800 veces más masivo.