Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) i) ¿Puede ser nulo el campo gravitatorio en alguna región del espacio cercano a dos partículas sabiendo que la masa de una de ellas es el doble que la de la otra? ii) ¿Y el potencial gravitatorio? Razone las respuestas apoyándose en un esquema. [1 punto]

b) Dos masas de 2 kg y 5 kg se encuentran situadas en los puntos $(0,3)\ \text{m}$ y $(4,0)\ \text{m}$, respectivamente. Calcule: i) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas; ii) el trabajo necesario para desplazar una masa de 10 kg desde el origen de coordenadas al punto $(4,3)\ \text{m}$ y comente el resultado obtenido. [1,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) i) ¿Puede ser nulo el campo gravitatorio en alguna región del espacio cercano a dos partículas sabiendo que la masa de una de ellas es el doble que la de la otra? ii) ¿Y el potencial gravitatorio? Razone las respuestas apoyándose en un esquema. [1 punto]}$










i) Sí puede serlo. El campo gravitatorio es una magnitud vectorial que apunta siempre hacia la masa que lo crea, de modo que en un punto del segmento que une las dos partículas los dos campos tienen sentidos opuestos y pueden cancelarse.





Llamando $m$ a la masa menor, $x$ a la distancia desde ella al punto y $d$ a la separación entre las partículas, la condición de campo nulo es:

$G\frac{m}{x^2} = G\frac{2m}{(d - x)^2}$

$\frac{d - x}{x} = \sqrt2 \Rightarrow x = \frac{d}{1 + \sqrt2} = 0{,}41\,d$

El punto existe y está más cerca de la masa menor, a un 41 % del camino. Fuera del segmento no hay ningún punto de campo nulo, porque allí los dos campos tienen el mismo sentido.

ii) El potencial gravitatorio no puede anularse en ningún punto a distancia finita. Es una magnitud escalar y, con el origen de potenciales en el infinito, siempre negativa:

$V = -G\frac{m}{x} - G\frac{2m}{d - x}$

Los dos sumandos son negativos, así que su suma tampoco puede serlo. El potencial solo tiende a cero al alejarse indefinidamente de las dos masas. La diferencia con el campo está en la naturaleza de cada magnitud: los vectores pueden compensarse porque tienen sentido, y los escalares negativos no.

$\textbf{b) Dos masas de 2 kg y 5 kg se encuentran situadas en los puntos }\boldsymbol{(0,3)\ \text{m}}\textbf{ y }\boldsymbol{(4,0)\ \text{m}}\textbf{, respectivamente. Calcule: i) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas; ii) el trabajo necesario para desplazar una masa de 10 kg desde el origen de coordenadas al punto }\boldsymbol{(4,3)\ \text{m}}\textbf{ y comente el resultado obtenido. [1,5 puntos]}$










i) Las distancias desde el origen a cada masa se leen directamente de sus coordenadas:

$r_{AO} = 3\ \text{m} \qquad r_{BO} = 4\ \text{m}$

El potencial es una magnitud escalar, así que se suman directamente las dos contribuciones:

$V_O = -G\frac{m_A}{r_{AO}} - G\frac{m_B}{r_{BO}}$





Sustituyendo los datos:

$V_O = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{2}{3} + \frac{5}{4}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}917$

$V_O = -1{,}28\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

ii) Se calculan las distancias desde el punto $C(4,3)$ a las dos masas. Los dos puntos son los vértices libres del rectángulo que forman con las masas, y las distancias aparecen intercambiadas:

$r_{AC} = 4\ \text{m} \qquad r_{BC} = 3\ \text{m}$

$V_C = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{2}{4} + \frac{5}{3}\right) = -1{,}45\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es:

$W_{O\to C} = m\,(V_O - V_C) = 10\cdot\left(-1{,}28\cdot10^{-10} + 1{,}45\cdot10^{-10}\right)$

$W_{O\to C} = 1{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J}$

El trabajo del campo es positivo, lo que significa que el desplazamiento se produce espontáneamente y no hay que aportar energía desde el exterior: la masa se dirige hacia una zona de menor potencial y el campo gravitatorio le cede $1{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J}$, que aparecen como energía cinética.

Conviene comentar el resultado. Aunque las dos distancias que intervienen sean las mismas, 3 m y 4 m, los potenciales no coinciden, porque en cada punto están emparejadas con masas distintas: en el origen la masa grande está a 4 m y en $C$ está a 3 m. Por eso $C$ tiene un potencial más negativo y el trabajo resulta positivo.