Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2021

a) Enuncie la hipótesis de De Broglie y escriba su ecuación. Indique las magnitudes físicas involucradas y sus unidades en el Sistema Internacional. [1 punto]

b) Una partícula alfa ($\alpha$) emitida en el decaimiento radiactivo del $^{238}\text{U}$ posee una energía cinética de $6{,}72\cdot10^{-13}\ \text{J}$. i) ¿Cuánto vale su longitud de onda de De Broglie asociada? ii) ¿Qué diferencia de potencial debería existir en una región del espacio para detener por completo la partícula alfa? Indique mediante un esquema la dirección y sentido del campo necesario para ello. Razone todas sus respuestas. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_\alpha = 6{,}64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Enuncie la hipótesis de De Broglie y escriba su ecuación. Indique las magnitudes físicas involucradas y sus unidades en el Sistema Internacional. [1 punto]}$

La hipótesis de De Broglie, formulada en 1924, extiende a la materia la dualidad onda-corpúsculo que Einstein había propuesto para la luz. Su enunciado es el siguiente: toda partícula en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud de onda depende del momento lineal de la partícula.

La ecuación que la expresa es:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}$

Las magnitudes que aparecen son:

$\lambda$, la longitud de onda asociada, que se mide en metros.

$h$, la constante de Planck, de valor $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$.

$p$, el momento lineal de la partícula, que se mide en $\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$, y que es el producto de su masa $m$, en kilogramos, por su velocidad $v$, en $\text{m}\,\text{s}^{-1}$.

Conviene señalar que, al ser $h$ tan pequeña, la longitud de onda asociada solo resulta apreciable para partículas de masa muy pequeña. Para un objeto cotidiano es tan diminuta que su comportamiento ondulatorio es indetectable. La hipótesis se confirmó experimentalmente en 1927 con la difracción de electrones por un cristal.

$\textbf{b) Una partícula alfa (}\boldsymbol{\alpha}\textbf{) emitida en el decaimiento radiactivo del }\boldsymbol{^{238}\text{U}}\textbf{ posee una energía cinética de }\boldsymbol{6{,}72\cdot10^{-13}\ \text{J}}\textbf{. i) ¿Cuánto vale su longitud de onda de De Broglie asociada? ii) ¿Qué diferencia de potencial debería existir en una región del espacio para detener por completo la partícula alfa? Indique mediante un esquema la dirección y sentido del campo necesario para ello. Razone todas sus respuestas. [1,5 puntos]}$

i) Se expresa primero el momento lineal en función de la energía cinética, que es el dato del enunciado:

$E_c = \frac{p^2}{2\,m_\alpha} \Rightarrow p = \sqrt{2\,m_\alpha\,E_c}$

$p = \sqrt{2\cdot6{,}64\cdot10^{-27}\cdot6{,}72\cdot10^{-13}} = 9{,}45\cdot10^{-20}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$

Y con él se obtiene la longitud de onda de De Broglie:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}45\cdot10^{-20}}$

$\lambda = 7{,}02\cdot10^{-15}\ \text{m}$

Es una longitud de onda del orden del tamaño de un núcleo atómico, lo que resulta coherente con que se trate de una partícula nuclear.










ii) Para detener la partícula, el trabajo que realiza el campo eléctrico sobre ella ha de ser igual y de signo contrario a su energía cinética. Una partícula alfa es un núcleo de helio, con dos protones, de modo que su carga es:

$q = 2\,e = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}$





Imponiendo que toda la energía cinética se invierta en vencer la diferencia de potencial:

$q\,\Delta V = E_c \Rightarrow \Delta V = \frac{E_c}{2\,e} = \frac{6{,}72\cdot10^{-13}}{3{,}2\cdot10^{-19}}$

$\Delta V = 2{,}1\cdot10^{6}\ \text{V}$

Hacen falta 2,1 millones de voltios para frenar por completo la partícula alfa.

En cuanto al campo, la partícula alfa tiene carga positiva, así que la fuerza eléctrica que sufre tiene el mismo sentido que el campo:

$\vec F = q\,\vec E \quad \text{con } q > 0$

Para que esa fuerza la frene tiene que oponerse a su velocidad, de manera que el campo eléctrico ha de estar dirigido en sentido contrario al del movimiento de la partícula. Dicho en términos de potencial: la partícula ha de avanzar hacia potenciales crecientes, porque solo así pierde energía cinética.