Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2021

a) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) La masa de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas de los protones y neutrones que lo forman. ii) En una emisión alfa el número másico decrece en dos unidades y el número atómico en una. [1 punto]

b) En la bomba de hidrógeno (o bomba de fusión) intervienen dos núcleos, uno de deuterio ($^{2}_{1}\text{H}$) y otro de tritio ($^{3}_{1}\text{H}$) que dan lugar a uno de helio ($^{4}_{2}\text{He}$). i) Escriba la reacción nuclear correspondiente. ii) Obtenga la energía liberada en el proceso por cada átomo de helio obtenido. [1,5 puntos]

Datos: $m(^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}002603\ \text{u}$; $m(^{2}_{1}\text{H}) = 2{,}014102\ \text{u}$; $m(^{3}_{1}\text{H}) = 3{,}016049\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) La masa de un núcleo es siempre menor que la suma de las masas de los protones y neutrones que lo forman. ii) En una emisión alfa el número másico decrece en dos unidades y el número atómico en una. [1 punto]}$

i) La afirmación es verdadera, y es un hecho experimental de enorme importancia. Al formarse un núcleo a partir de sus nucleones se libera energía, la energía de enlace, y por la equivalencia entre masa y energía de Einstein esa energía lleva asociada una masa que el núcleo pierde:

$\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m_{\text{núcleo}} > 0$

$E_e = \Delta m\,c^2$

Esa diferencia positiva es el defecto de masa. Si no existiera, el núcleo no estaría ligado y se desharía espontáneamente en sus componentes.

ii) La afirmación es falsa. La partícula alfa es un núcleo de helio, $^{4}_{2}\text{He}$, con 2 protones y 2 neutrones. Aplicando las leyes de conservación del número másico y del número atómico a una emisión alfa:

$^{A}_{Z}\text{X} \longrightarrow\ ^{A-4}_{Z-2}\text{Y} + ^{4}_{2}\text{He}$

El número másico decrece en cuatro unidades y el número atómico en dos, no en dos y una como afirma el enunciado. La emisión que sí cambia el número atómico en una unidad es la beta, y en ese caso el número másico no cambia.

$\textbf{b) En la bomba de hidrógeno (o bomba de fusión) intervienen dos núcleos, uno de deuterio (}\boldsymbol{^{2}_{1}\text{H}}\textbf{) y otro de tritio (}\boldsymbol{^{3}_{1}\text{H}}\textbf{) que dan lugar a uno de helio (}\boldsymbol{^{4}_{2}\text{He}}\textbf{). i) Escriba la reacción nuclear correspondiente. ii) Obtenga la energía liberada en el proceso por cada átomo de helio obtenido. [1,5 puntos]}$

i) Se plantea la reacción y se completa aplicando las leyes de conservación. Del número másico:

$2 + 3 = 4 + A \Rightarrow A = 1$

Y del número atómico:

$1 + 1 = 2 + Z \Rightarrow Z = 0$

La partícula que falta tiene número másico 1 y número atómico 0, es decir, es un neutrón. La reacción es:

$^{2}_{1}\text{H} + ^{3}_{1}\text{H} \longrightarrow\ ^{4}_{2}\text{He} + ^{1}_{0}n$

ii) La energía liberada procede del defecto de masa de la reacción. Se calcula la diferencia entre la masa de los reactivos y la de los productos:

$\Delta m = \left(m_{^{2}\text{H}} + m_{^{3}\text{H}}\right) - \left(m_{^{4}\text{He}} + m_n\right)$

$\Delta m = (2{,}014102 + 3{,}016049) - (4{,}002603 + 1{,}008665)$

$\Delta m = 5{,}030151 - 5{,}011268 = 0{,}018883\ \text{u}$

Se pasa a kilogramos y se aplica la equivalencia masa-energía:

$E = \Delta m\,c^2 = 0{,}018883\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E = 2{,}82\cdot10^{-12}\ \text{J}$

Por cada núcleo de helio formado se liberan $2{,}82\cdot10^{-12}\ \text{J}$, unos 17,6 MeV. Es una energía bastante mayor que la que libera la fisión de un núcleo de uranio por nucleón, y esa es la razón de que la fusión sea, a igualdad de masa de combustible, mucho más energética que la fisión.