Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2021

a) Razone y justifique la veracidad o falsedad de las siguientes frases: i) Cuando la luz pasa de un medio a otro experimenta un aumento de su velocidad si el segundo medio tiene un índice de refracción mayor que el primero. ii) La reflexión total de la luz en la superficie de separación de dos medios puede producirse cuando el índice de refracción del segundo medio es mayor que el del primero. [1 punto]

b) Un rayo de luz con componentes azul y roja de longitudes de onda en el aire de $4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ y $6{,}9\cdot10^{-7}\ \text{m}$, respectivamente, incide desde el aire sobre una placa de un determinado material con un ángulo de $40^\circ$ respecto a la normal a la superficie de la placa. i) Mediante un esquema, y de manera razonada, indique la trayectoria de los rayos azul y rojo, tanto en el aire como en el material. ii) Deduzca cuál de las dos componentes (azul o roja) se propaga más rápidamente en el interior de la lámina. iii) Determine las frecuencias de los rayos en el aire. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $n_{\text{aire}} = 1$; $n_{\text{material (azul)}} = 1{,}47$; $n_{\text{material (roja)}} = 1{,}44$.

$\textbf{a) Razone y justifique la veracidad o falsedad de las siguientes frases: i) Cuando la luz pasa de un medio a otro experimenta un aumento de su velocidad si el segundo medio tiene un índice de refracción mayor que el primero. ii) La reflexión total de la luz en la superficie de separación de dos medios puede producirse cuando el índice de refracción del segundo medio es mayor que el del primero. [1 punto]}$

i) La afirmación es falsa. El índice de refracción de un medio se define como:

$n = \frac{c}{v} \Rightarrow v = \frac{c}{n}$

La velocidad es inversamente proporcional al índice, de modo que si el segundo medio tiene mayor índice, la luz viaja por él más despacio, no más deprisa. Un índice grande significa precisamente un medio en el que la luz se retrasa mucho respecto de su marcha en el vacío.

ii) La afirmación también es falsa. La reflexión total exige que exista un ángulo límite, es decir, un ángulo de incidencia para el que el rayo refractado saldría rasante. Por la ley de Snell:

$n_1\,\operatorname{sen}\hat\imath_L = n_2\,\operatorname{sen}90^\circ \Rightarrow \operatorname{sen}\hat\imath_L = \frac{n_2}{n_1}$

Para que esa ecuación tenga solución, el seno ha de ser menor o igual que la unidad, lo que obliga a que $n_2 < n_1$. La reflexión total solo puede producirse cuando la luz va de un medio más refringente a otro menos refringente, justo al contrario de lo que dice la frase. Es lo que ocurre al mirar desde dentro del agua hacia el aire, o en el interior de una fibra óptica.

$\textbf{b) Un rayo de luz con componentes azul y roja de longitudes de onda en el aire de }\boldsymbol{4{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{ y }\boldsymbol{6{,}9\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{, respectivamente, incide desde el aire sobre una placa de un determinado material con un ángulo de }\boldsymbol{40^\circ}\textbf{ respecto a la normal a la superficie de la placa. i) Mediante un esquema, y de manera razonada, indique la trayectoria de los rayos azul y rojo, tanto en el aire como en el material. ii) Deduzca cuál de las dos componentes (azul o roja) se propaga más rápidamente en el interior de la lámina. iii) Determine las frecuencias de los rayos en el aire. [1,5 puntos]}$










i) En el aire las dos componentes viajan juntas, porque el índice del aire es 1 para las dos: el rayo incidente es blanco. Al entrar en el material, cada una se refracta con su propio índice y se separan. Es el fenómeno de la dispersión.

Se aplica la ley de Snell a cada componente.





Para la componente azul, con $n = 1{,}47$:

$\operatorname{sen}\hat r_{\text{azul}} = \frac{\operatorname{sen}40^\circ}{1{,}47} = 0{,}437 \Rightarrow \hat r_{\text{azul}} = 25{,}9^\circ$

Para la componente roja, con $n = 1{,}44$:

$\operatorname{sen}\hat r_{\text{roja}} = \frac{\operatorname{sen}40^\circ}{1{,}44} = 0{,}446 \Rightarrow \hat r_{\text{roja}} = 26{,}5^\circ$

Las dos se acercan a la normal, porque el material es más refringente que el aire, pero la azul se desvía algo más que la roja. En el esquema la separación aparece exagerada: en la realidad es de poco más de medio grado.

ii) La velocidad en el interior de la lámina es:

$v = \frac{c}{n}$

Como el índice de la componente roja, 1,44, es menor que el de la azul, 1,47, la componente roja se propaga más deprisa:

$v_{\text{roja}} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}44} = 2{,}08\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

$v_{\text{azul}} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}47} = 2{,}04\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

iii) La frecuencia se obtiene de la longitud de onda en el aire, donde la velocidad es prácticamente la del vacío:

$f = \frac{c}{\lambda}$

$f_{\text{azul}} = \frac{3\cdot10^{8}}{4{,}5\cdot10^{-7}} = 6{,}67\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

$f_{\text{roja}} = \frac{3\cdot10^{8}}{6{,}9\cdot10^{-7}} = 4{,}35\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Estas frecuencias no cambian al entrar en el material: son la propiedad que identifica el color de cada componente y solo dependen del foco emisor.