Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2021

a) i) Justifique que en una onda estacionaria la amplitud varía en cada punto. ii) Realice una representación gráfica de una onda estacionaria en función del espacio, y explique qué se entiende por un nodo en este tipo de ondas. [1 punto]

b) Una onda estacionaria queda descrita mediante la ecuación $y(x,t) = 0{,}5\cdot\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{3}x\right)\cdot\cos(40\pi t)$ (S. I.). Determine razonadamente: i) amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria; ii) posición de los vientres y amplitud de los mismos. [1,5 puntos]

$\textbf{a) i) Justifique que en una onda estacionaria la amplitud varía en cada punto. ii) Realice una representación gráfica de una onda estacionaria en función del espacio, y explique qué se entiende por un nodo en este tipo de ondas. [1 punto]}$

i) Una onda estacionaria es el resultado de superponer dos ondas armónicas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. Sumándolas y aplicando la relación trigonométrica de la suma de senos:

$y_1 = A\,\operatorname{sen}(\omega t - k x) \qquad y_2 = A\,\operatorname{sen}(\omega t + k x)$

$y = y_1 + y_2 = 2A\,\operatorname{sen}(k x)\,\cos(\omega t)$

La expresión resultante ya no tiene la forma de una onda viajera: el espacio y el tiempo aparecen en factores separados y no dentro de un mismo argumento. Se puede leer entonces como un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega$ cuya amplitud es:

$A(x) = 2A\,\operatorname{sen}(k x)$

y que depende de la posición. Cada punto del medio oscila con la misma frecuencia, pero con una amplitud propia fijada por su coordenada. Esa es la diferencia esencial con una onda viajera, donde todos los puntos oscilan con la misma amplitud.










ii) La gráfica muestra la onda en dos instantes opuestos. Se aprecian los puntos que no se mueven nunca, los nodos, y los que oscilan con amplitud máxima, los vientres.





Un nodo es un punto del medio cuya amplitud de oscilación es nula, de modo que permanece siempre en reposo. Son los puntos en los que se anula el factor espacial:

$\operatorname{sen}(k x) = 0 \Rightarrow k\,x = n\,\pi \Rightarrow x = n\,\frac{\lambda}{2}$

Los nodos están separados entre sí media longitud de onda. Su existencia es la razón de que la onda no transporte energía de un lado a otro: la energía queda confinada entre nodos consecutivos, y de ahí el nombre de estacionaria.

$\textbf{b) Una onda estacionaria queda descrita mediante la ecuación }\boldsymbol{y(x,t) = 0{,}5\cdot\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{3}x\right)\cdot\cos(40\pi t)}\textbf{ (S. I.). Determine razonadamente: i) amplitud, longitud de onda y velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria; ii) posición de los vientres y amplitud de los mismos. [1,5 puntos]}$

i) Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda estacionaria deducida en el apartado anterior:

$y(x,t) = 2A\,\operatorname{sen}(k x)\,\cos(\omega t)$

Identificando términos:

$2A = 0{,}5 \Rightarrow A = 0{,}25\ \text{m}$

$k = \frac{\pi}{3}\ \text{rad/m} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi/3} = 6\ \text{m}$

$\omega = 40\pi\ \text{rad/s} \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi} = 20\ \text{Hz}$

La amplitud de cada una de las dos ondas que se superponen es de 0,25 m, la mitad de la que aparece en la ecuación, y su longitud de onda es de 6 m. La velocidad de propagación es:

$v = \lambda\,f = 6\cdot20 = 120\ \text{m/s}$

ii) Los vientres son los puntos de amplitud máxima, es decir, aquellos en los que el factor espacial vale la unidad en valor absoluto:

$\left|\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}x\right)\right| = 1 \Rightarrow \frac{\pi}{3}x = \frac{\pi}{2} + n\,\pi$

Despejando la posición:

$x = \frac{3}{2} + 3n = 1{,}5 + 3n\ \text{m} \qquad n = 0, 1, 2, \dots$

Los vientres están en $x = 1{,}5\ \text{m}$, $x = 4{,}5\ \text{m}$, $x = 7{,}5\ \text{m}$ y así sucesivamente, separados media longitud de onda unos de otros.

La amplitud en los vientres es el valor máximo posible de la amplitud:

$A_{\text{vientre}} = 2A = 0{,}5\ \text{m}$

Es el doble de la amplitud de cada onda por separado, como corresponde a una interferencia constructiva.