Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2021

a) Suponga dos conductores rectilíneos, muy largos, paralelos y separados por una distancia $d$ por los que circulan corrientes eléctricas de igual intensidad y sentido. Razone cómo se modifica la fuerza por unidad de longitud entre los conductores si duplicamos ambas intensidades y a la vez reducimos $d$ a la mitad. [1 punto]

b) Un protón que ha sido acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 6000 V describe una órbita circular en un campo magnético uniforme de 0,8 T. Calcule razonadamente: i) el módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón; ii) el radio de la trayectoria descrita. [1,5 puntos]

Datos: $m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Suponga dos conductores rectilíneos, muy largos, paralelos y separados por una distancia }\boldsymbol{d}\textbf{ por los que circulan corrientes eléctricas de igual intensidad y sentido. Razone cómo se modifica la fuerza por unidad de longitud entre los conductores si duplicamos ambas intensidades y a la vez reducimos }\boldsymbol{d}\textbf{ a la mitad. [1 punto]}$










Cada conductor está inmerso en el campo magnético que crea el otro y sufre la fuerza magnética sobre una corriente. Combinando la ley de Biot-Savart con la expresión de esa fuerza se obtiene la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos indefinidos:

$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$

Como las dos corrientes van en el mismo sentido, la fuerza es atractiva.





Se aplica ahora la expresión al nuevo caso, con $I'_1 = I'_2 = 2I$ y $d' = d/2$:

$\frac{F'}{L} = \frac{\mu_0\,(2I)(2I)}{2\pi\,(d/2)} = \frac{4\,\mu_0\,I^2}{\pi\,d}$

Y se compara con la original:

$\frac{F'/L}{F/L} = \frac{4}{1/2} = 8$

La fuerza por unidad de longitud se hace ocho veces mayor. El factor se descompone así: duplicar cada intensidad multiplica la fuerza por dos, y como son dos intensidades, por cuatro; reducir la distancia a la mitad la multiplica por dos más. En total, $4\cdot2 = 8$.

$\textbf{b) Un protón que ha sido acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 6000 V describe una órbita circular en un campo magnético uniforme de 0,8 T. Calcule razonadamente: i) el módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón; ii) el radio de la trayectoria descrita. [1,5 puntos]}$










i) En la etapa de aceleración todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética, porque el protón parte del reposo:

$e\,\Delta V = \frac12\,m_p\,v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$

$v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot6000}{1{,}7\cdot10^{-27}}} = 1{,}06\cdot10^{6}\ \text{m/s}$





Una vez dentro del campo, la velocidad es perpendicular a este, así que el módulo de la fuerza magnética es:

$F = e\,v\,B = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}06\cdot10^{6}\cdot0{,}8$

$F = 1{,}36\cdot10^{-13}\ \text{N}$

ii) Esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que hace de fuerza centrípeta y la trayectoria es circular uniforme:

$e\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{m_p\,v}{e\,B}$

$r = \frac{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot1{,}06\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}8}$

$r = 1{,}41\cdot10^{-2}\ \text{m}$

El protón describe una circunferencia de 1,41 cm de radio sometido a una fuerza de $1{,}36\cdot10^{-13}\ \text{N}$. Esa fuerza no realiza trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento en todo momento: cambia la dirección de la velocidad pero no su módulo, y por eso el movimiento es uniforme.