Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Andalucía · 2021

a) Dos partículas idénticas con carga $q$ y masa $m$ se encuentran separadas por una distancia $d$. A continuación, se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) Determine el módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) Determine cómo cambiaría el módulo de la velocidad obtenida en el apartado anterior si se duplica el valor de las cargas. [1 punto]

b) Dos partículas idénticas con carga $q = +5\cdot10^{-6}\ \text{C}$ están fijas en los puntos $(0,-3)\ \text{m}$ y $(0,3)\ \text{m}$ del plano $XY$. Si, manteniendo fijas las dos partículas, se suelta una tercera partícula con carga $Q = -2\cdot10^{-8}\ \text{C}$ y masa $m = 8\cdot10^{-6}\ \text{kg}$ en el punto $(4,0)\ \text{m}$, calcule el módulo de la velocidad con la que llega al punto $(0,0)$. [1,5 puntos]

Dato: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Dos partículas idénticas con carga }\boldsymbol{q}\textbf{ y masa }\boldsymbol{m}\textbf{ se encuentran separadas por una distancia }\boldsymbol{d}\textbf{. A continuación, se mantiene fija una de las partículas y se deja que la otra se aleje hasta duplicar la distancia inicial con la primera. i) Determine el módulo de la velocidad que adquiere la partícula en el punto final. ii) Determine cómo cambiaría el módulo de la velocidad obtenida en el apartado anterior si se duplica el valor de las cargas. [1 punto]}$

i) Las dos cargas son idénticas, luego se repelen, y la partícula libre se aleja espontáneamente. Como la fuerza eléctrica es conservativa y es la única que actúa, la energía mecánica se conserva:

$E_c(d) + E_p(d) = E_c(2d) + E_p(2d)$

La partícula parte del reposo, de modo que su energía cinética inicial es nula:

$0 + K\frac{q^2}{d} = \frac12\,m\,v^2 + K\frac{q^2}{2d}$

Despejando la energía cinética final:

$\frac12\,m\,v^2 = K\frac{q^2}{d} - K\frac{q^2}{2d} = K\frac{q^2}{2d}$

$v = \sqrt{\frac{K\,q^2}{m\,d}} = q\,\sqrt{\frac{K}{m\,d}}$

Obsérvese que solo la mitad de la energía potencial inicial se ha convertido en cinética: la otra mitad sigue almacenada, porque la partícula no se ha alejado hasta el infinito, sino solo hasta el doble de la distancia.

ii) La velocidad es directamente proporcional a la carga, ya que $q$ aparece elevada al cuadrado dentro de la raíz:

$v' = (2q)\,\sqrt{\frac{K}{m\,d}} = 2\,v$

Si se duplica el valor de las dos cargas, la velocidad final se duplica.

$\textbf{b) Dos partículas idénticas con carga }\boldsymbol{q = +5\cdot10^{-6}\ \text{C}}\textbf{ están fijas en los puntos }\boldsymbol{(0,-3)\ \text{m}}\textbf{ y }\boldsymbol{(0,3)\ \text{m}}\textbf{ del plano }\boldsymbol{XY}\textbf{. Si, manteniendo fijas las dos partículas, se suelta una tercera partícula con carga }\boldsymbol{Q = -2\cdot10^{-8}\ \text{C}}\textbf{ y masa }\boldsymbol{m = 8\cdot10^{-6}\ \text{kg}}\textbf{ en el punto }\boldsymbol{(4,0)\ \text{m}}\textbf{, calcule el módulo de la velocidad con la que llega al punto }\boldsymbol{(0,0)}\textbf{. [1,5 puntos]}$










La carga $Q$ es negativa y las dos fijas son positivas, así que ambas la atraen. El punto de partida y el de llegada están sobre el eje $X$, que es la mediatriz del segmento que une las cargas fijas, y por simetría la partícula se mueve a lo largo de él.

Las distancias desde el punto inicial a cada carga fija son:

$r_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m}$





Y desde el punto final, el origen:

$r_f = 3\ \text{m}$

Como la fuerza eléctrica es conservativa y es la única que actúa, se conserva la energía mecánica. La energía potencial en cada punto es la suma de las dos contribuciones:

$E_p(i) = 2\,K\frac{q\,Q}{r_i} = 2\cdot9\cdot10^{9}\cdot\frac{5\cdot10^{-6}\cdot(-2\cdot10^{-8})}{5}$

$E_p(i) = -3{,}6\cdot10^{-4}\ \text{J}$

$E_p(f) = 2\,K\frac{q\,Q}{r_f} = 2\cdot9\cdot10^{9}\cdot\frac{5\cdot10^{-6}\cdot(-2\cdot10^{-8})}{3}$

$E_p(f) = -6{,}0\cdot10^{-4}\ \text{J}$

Aplicando la conservación de la energía mecánica, con la partícula partiendo del reposo:

$0 + E_p(i) = \frac12\,m\,v^2 + E_p(f)$

$\frac12\,m\,v^2 = E_p(i) - E_p(f) = -3{,}6\cdot10^{-4} + 6{,}0\cdot10^{-4} = 2{,}4\cdot10^{-4}\ \text{J}$

Despejando la velocidad:

$v = \sqrt{\frac{2\cdot2{,}4\cdot10^{-4}}{8\cdot10^{-6}}} = \sqrt{60}$

$v = 7{,}75\ \text{m/s}$

La partícula llega al origen con una velocidad de 7,75 m/s. El resultado tiene sentido: la energía potencial se hace más negativa al acercarse a las cargas positivas, y esa disminución es exactamente la energía cinética que gana.