Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

a) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si un planeta tiene el doble de masa y la mitad del radio que otro planeta, su velocidad de escape será el doble». [1 punto]

b) Conociendo la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte, calcule: i) el radio de Marte; ii) la masa de Marte. [1,5 puntos]

Datos: $g_{\text{Marte}} = 3{,}7\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$; $v_{\text{escape}} = 5\cdot10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Razone si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si un planeta tiene el doble de masa y la mitad del radio que otro planeta, su velocidad de escape será el doble». [1 punto]}$

La afirmación es verdadera. Se comprueba deduciendo primero la velocidad de escape.

La velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie de un planeta para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

$-G\frac{M\,m}{R} + \frac12\,m\,v_e^2 = 0 + 0$

$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

Se aplica ahora al segundo planeta, con $M' = 2M$ y $R' = R/2$:

$v'_e = \sqrt{\frac{2\,G\,(2M)}{R/2}} = \sqrt{4\cdot\frac{2\,G\,M}{R}} = 2\,\sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

$v'_e = 2\,v_e$

La velocidad de escape es, en efecto, el doble. La razón es que dentro de la raíz aparece el cociente $M/R$, que en este caso queda multiplicado por cuatro, y la raíz de cuatro es dos.

$\textbf{b) Conociendo la gravedad y la velocidad de escape en la superficie de Marte, calcule: i) el radio de Marte; ii) la masa de Marte. [1,5 puntos]}$










Se dispone de dos datos y hay dos incógnitas, así que se plantean las dos expresiones que las relacionan. La gravedad en la superficie es el campo gravitatorio a una distancia igual al radio:

$g = G\frac{M}{R^2}$

y la velocidad de escape es la deducida en el apartado anterior:

$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$





i) Conviene combinarlas para eliminar la masa. De la primera expresión, $G\,M = g\,R^2$, y sustituyendo en la segunda:

$v_e = \sqrt{\frac{2\,g\,R^2}{R}} = \sqrt{2\,g\,R}$

Despejando el radio:

$R = \frac{v_e^2}{2\,g} = \frac{(5\cdot10^{3})^2}{2\cdot3{,}7}$

$R = 3{,}38\cdot10^{6}\ \text{m}$

ii) Con el radio ya conocido, la masa se obtiene de la expresión de la gravedad:

$M = \frac{g\,R^2}{G} = \frac{3{,}7\cdot(3{,}38\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}}$

$M = 6{,}33\cdot10^{23}\ \text{kg}$

El radio de Marte es de $3{,}38\cdot10^{6}\ \text{m}$, algo más de la mitad del terrestre, y su masa, $6{,}33\cdot10^{23}\ \text{kg}$, aproximadamente la décima parte de la de la Tierra. Los dos valores coinciden con los tabulados para el planeta.