Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2021

a) Un protón y un electrón son acelerados por una misma diferencia de potencial en una cierta región del espacio. Indique de forma razonada, teniendo en cuenta que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: i) «El protón y el electrón poseen la misma longitud de onda de De Broglie asociada». ii) «Ambos se mueven con la misma velocidad». [1 punto]

b) Un electrón tiene una longitud de onda de De Broglie de $2{,}8\cdot10^{-10}\ \text{m}$. Calcule razonadamente: i) la velocidad con la que se mueve el electrón; ii) la energía cinética que posee. [1,5 puntos]

Datos: $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$.

$\textbf{a) Un protón y un electrón son acelerados por una misma diferencia de potencial en una cierta región del espacio. Indique de forma razonada, teniendo en cuenta que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: i) «El protón y el electrón poseen la misma longitud de onda de De Broglie asociada». ii) «Ambos se mueven con la misma velocidad». [1 punto]}$

Las dos partículas tienen cargas de igual valor absoluto y son aceleradas por la misma diferencia de potencial, de modo que adquieren la misma energía cinética:

$E_c = |q|\,\Delta V = \frac12\,m\,v^2$

Lo que las diferencia es la masa, y de ahí salen las dos respuestas.

i) La afirmación es falsa. Escribiendo la longitud de onda de De Broglie en función de la energía cinética:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Con la misma energía cinética, la longitud de onda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa:

$\frac{\lambda_p}{\lambda_e} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$

Como la masa del protón es unas 1800 veces la del electrón, su longitud de onda asociada es unas 43 veces menor. No son iguales.

ii) La afirmación también es falsa. Despejando la velocidad de la energía cinética:

$v = \sqrt{\frac{2\,|q|\,\Delta V}{m}}$

$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}}$

El electrón se mueve unas 43 veces más deprisa que el protón, precisamente por ser mucho más ligero.

$\textbf{b) Un electrón tiene una longitud de onda de De Broglie de }\boldsymbol{2{,}8\cdot10^{-10}\ \text{m}}\textbf{. Calcule razonadamente: i) la velocidad con la que se mueve el electrón; ii) la energía cinética que posee. [1,5 puntos]}$

i) Se parte de la hipótesis de De Broglie y se despeja la velocidad:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e\,v} \Rightarrow v = \frac{h}{m_e\,\lambda}$

Sustituyendo los datos en unidades del Sistema Internacional:

$v = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot2{,}8\cdot10^{-10}}$

$v = 2{,}60\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

ii) Con la velocidad ya conocida, la energía cinética es inmediata:

$E_c = \frac12\,m_e\,v^2 = \frac12\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(2{,}60\cdot10^{6})^2$

$E_c = 3{,}08\cdot10^{-18}\ \text{J}$

El electrón se mueve a $2{,}60\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, aproximadamente el 0,9 % de la velocidad de la luz, lo que justifica no haber usado expresiones relativistas. Su energía cinética, $3{,}08\cdot10^{-18}\ \text{J}$, equivale a unos 19 eV, y la longitud de onda asociada, $2{,}8\cdot10^{-10}\ \text{m}$, es del orden del tamaño de un átomo: por eso los electrones de esta energía se difractan al atravesar un cristal.