Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2021

a) Represente gráficamente la energía de enlace por nucleón frente al número másico y justifique, a partir de la gráfica, los procesos de fusión y fisión nuclear. [1 punto]

b) En el proceso de desintegración de un núcleo de $^{218}_{84}\text{Po}$, se emiten sucesivamente una partícula alfa y dos partículas beta, dando lugar finalmente a un núcleo de masa 213,995201 u. i) Escriba la reacción nuclear correspondiente. ii) Justifique razonadamente cuál de los isótopos radioactivos (el $^{218}_{84}\text{Po}$ o el núcleo que resulta tras los decaimientos) es más estable. [1,5 puntos]

Datos: $m(^{218}_{84}\text{Po}) = 218{,}009007\ \text{u}$; $m_p = 1{,}007276\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Represente gráficamente la energía de enlace por nucleón frente al número másico y justifique, a partir de la gráfica, los procesos de fusión y fisión nuclear. [1 punto]}$










La energía de enlace por nucleón mide lo fuertemente ligado que está cada nucleón dentro del núcleo, y por tanto su estabilidad:

$\frac{E_e}{A} = \frac{\Delta m\,c^2}{A}$

La curva crece muy deprisa para los núcleos ligeros, alcanza un máximo de unos 8,8 MeV por nucleón en torno al hierro, y decrece lentamente hacia los núcleos pesados.





La lectura energética de la curva es la siguiente: cualquier proceso que lleve a los nucleones a una posición más alta de la gráfica libera energía, porque el sistema queda más ligado y la diferencia de energía de enlace se desprende.

Para los núcleos ligeros, situados a la izquierda del máximo, la forma de subir por la curva es unirse: es la fusión nuclear. Al fusionar dos núcleos ligeros se obtiene uno de número másico mayor y de mayor energía de enlace por nucleón, y se libera la diferencia. Es lo que ocurre en las estrellas.

Para los núcleos pesados, situados a la derecha del máximo, la forma de subir por la curva es partirse: es la fisión nuclear. Al romper un núcleo pesado en dos fragmentos de masa intermedia, estos quedan más cerca del máximo y se libera de nuevo la diferencia. Es lo que ocurre en un reactor nuclear.

En torno al hierro, en el máximo de la curva, no se libera energía por ninguno de los dos caminos: son los núcleos más estables que existen.

$\textbf{b) En el proceso de desintegración de un núcleo de }\boldsymbol{^{218}_{84}\text{Po}}\textbf{, se emiten sucesivamente una partícula alfa y dos partículas beta, dando lugar finalmente a un núcleo de masa 213,995201 u. i) Escriba la reacción nuclear correspondiente. ii) Justifique razonadamente cuál de los isótopos radioactivos (el }\boldsymbol{^{218}_{84}\text{Po}}\textbf{ o el núcleo que resulta tras los decaimientos) es más estable. [1,5 puntos]}$

i) Se aplican las leyes de conservación del número másico y del número atómico en cada emisión. En una emisión alfa se pierden 4 unidades de número másico y 2 de número atómico, porque la partícula alfa es un núcleo de helio; en una emisión beta el número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad, porque un neutrón se convierte en un protón emitiendo un electrón.

Emisión alfa:

$^{218}_{84}\text{Po} \longrightarrow\ ^{214}_{82}\text{Pb} + ^{4}_{2}\text{He}$

Primera emisión beta:

$^{214}_{82}\text{Pb} \longrightarrow\ ^{214}_{83}\text{Bi} + ^{0}_{-1}e$

Segunda emisión beta:

$^{214}_{83}\text{Bi} \longrightarrow\ ^{214}_{84}\text{Po} + ^{0}_{-1}e$

El núcleo final es el $^{214}_{84}\text{Po}$, un isótopo del propio polonio. El proceso global se puede escribir de una vez:

$^{218}_{84}\text{Po} \longrightarrow\ ^{214}_{84}\text{Po} + ^{4}_{2}\text{He} + 2\ ^{0}_{-1}e$

ii) Para comparar la estabilidad hay que calcular la energía de enlace por nucleón de cada uno. Se empieza por los defectos de masa.

Para el $^{218}_{84}\text{Po}$, con 84 protones y 134 neutrones:

$\Delta m = 84\cdot1{,}007276 + 134\cdot1{,}008665 - 218{,}009007 = 1{,}763287\ \text{u}$

$E_e = 1{,}763287\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 2{,}634\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$\frac{E_e}{A} = \frac{2{,}634\cdot10^{-10}}{218} = 1{,}208\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleón}$

Para el $^{214}_{84}\text{Po}$, con 84 protones y 130 neutrones:

$\Delta m = 84\cdot1{,}007276 + 130\cdot1{,}008665 - 213{,}995201 = 1{,}742433\ \text{u}$

$E_e = 1{,}742433\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 2{,}603\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$\frac{E_e}{A} = \frac{2{,}603\cdot10^{-10}}{214} = 1{,}216\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleón}$

El núcleo resultante, el $^{214}_{84}\text{Po}$, tiene mayor energía de enlace por nucleón y es, por tanto, algo más estable que el de partida. Es lo esperable: las series radiactivas avanzan siempre hacia núcleos más estables, y por eso las desintegraciones son espontáneas y liberan energía.