Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2021

a) Un rayo de luz monocromática pasa de un medio de índice de refracción $n_1$ a otro medio con índice de refracción $n_2$, siendo $n_1 < n_2$. Razone y justifique la veracidad o falsedad de las siguientes frases: i) La velocidad de dicho rayo aumenta al pasar del primer medio al segundo. ii) La longitud de onda del rayo es mayor en el segundo medio. [1 punto]

b) Sea un recipiente que contiene agua que llega hasta una altura de 0,25 m, y sobre la que se ha colocado una capa de aceite. Procedente del aire, incide sobre la capa de aceite un rayo de luz que forma $50^\circ$ con la normal a la superficie de separación aire-aceite. i) Haga un esquema de la trayectoria que sigue el rayo en los diferentes medios (aire, aceite y agua), en el que se incluyan los valores de los ángulos que forman con la normal los rayos refractados en el aceite y en el agua. ii) Calcule la velocidad de la luz en el agua. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $n_{\text{aire}} = 1$; $n_{\text{aceite}} = 1{,}47$; $n_{\text{agua}} = 1{,}33$.

$\textbf{a) Un rayo de luz monocromática pasa de un medio de índice de refracción }\boldsymbol{n_1}\textbf{ a otro medio con índice de refracción }\boldsymbol{n_2}\textbf{, siendo }\boldsymbol{n_1 < n_2}\textbf{. Razone y justifique la veracidad o falsedad de las siguientes frases: i) La velocidad de dicho rayo aumenta al pasar del primer medio al segundo. ii) La longitud de onda del rayo es mayor en el segundo medio. [1 punto]}$

Lo primero que hay que recordar es que la frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro: la impone el foco emisor. Todo lo demás se deduce de ahí y de la definición del índice de refracción:

$n = \frac{c}{v}$

i) La afirmación es falsa. Despejando la velocidad:

$v = \frac{c}{n}$

La velocidad es inversamente proporcional al índice de refracción, así que al pasar a un medio de índice mayor la velocidad disminuye, no aumenta:

$n_1 < n_2 \Rightarrow v_1 > v_2$

ii) La afirmación también es falsa. Como la frecuencia se conserva y en cada medio se cumple $v = \lambda\,f$:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c}{n\,f}$

La longitud de onda es también inversamente proporcional al índice, de modo que en el segundo medio es menor:

$n_1 < n_2 \Rightarrow \lambda_1 > \lambda_2$

Dicho de otro modo, el producto $n\,\lambda$ se conserva al cambiar de medio, y es igual a la longitud de onda en el vacío.

$\textbf{b) Sea un recipiente que contiene agua que llega hasta una altura de 0,25 m, y sobre la que se ha colocado una capa de aceite. Procedente del aire, incide sobre la capa de aceite un rayo de luz que forma }\boldsymbol{50^\circ}\textbf{ con la normal a la superficie de separación aire-aceite. i) Haga un esquema de la trayectoria que sigue el rayo en los diferentes medios (aire, aceite y agua), en el que se incluyan los valores de los ángulos que forman con la normal los rayos refractados en el aceite y en el agua. ii) Calcule la velocidad de la luz en el agua. [1,5 puntos]}$










i) Se aplica la ley de Snell en la primera superficie de separación, la de aire y aceite:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}50^\circ = n_{\text{aceite}}\,\operatorname{sen}\hat r_1$

$\operatorname{sen}\hat r_1 = \frac{1\cdot0{,}766}{1{,}47} = 0{,}521$

$\hat r_1 = 31{,}4^\circ$





El rayo se acerca a la normal, porque el aceite es más refringente que el aire. En la segunda superficie de separación, la de aceite y agua, el ángulo de incidencia es el $\hat r_1$ que se acaba de calcular:

$n_{\text{aceite}}\,\operatorname{sen}\hat r_1 = n_{\text{agua}}\,\operatorname{sen}\hat r_2$

$\operatorname{sen}\hat r_2 = \frac{1{,}47\cdot0{,}521}{1{,}33} = 0{,}576$

$\hat r_2 = 35{,}2^\circ$

Ahora el rayo se aleja de la normal, porque el agua es menos refringente que el aceite. Conviene observar que, encadenando las dos leyes de Snell, la capa intermedia se cancela:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}50^\circ = n_{\text{agua}}\,\operatorname{sen}\hat r_2$

El ángulo en el agua es el mismo que si el aceite no estuviera: la capa intermedia solo desplaza lateralmente el rayo.

ii) La velocidad de la luz en el agua se obtiene directamente de su índice de refracción:

$v = \frac{c}{n_{\text{agua}}} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}33}$

$v = 2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

La luz viaja por el agua a $2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, aproximadamente tres cuartas partes de su velocidad en el vacío. La altura de 0,25 m del agua no interviene en ninguno de los dos cálculos: solo fijaría dónde llega el rayo al fondo del recipiente.