Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2021

a) Un electrón se mueve en sentido positivo del eje $OX$ en una región en la que existe un campo magnético uniforme dirigido en el sentido negativo del eje $OZ$. i) Indique, de forma justificada y con ayuda de un esquema, la dirección y sentido en que debe actuar un campo eléctrico uniforme para que la partícula no se desvíe. ii) ¿Qué relación deben cumplir para ello los módulos de ambos campos? [1 punto]

b) Un protón describe una trayectoria circular en sentido antihorario en el plano $XY$, con una velocidad de módulo igual a $3\cdot10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$, en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,05 T. i) Justifique, con ayuda de un esquema que incluya la trayectoria descrita por el protón, la dirección y sentido del campo magnético. ii) Calcule, de forma razonada, el periodo del movimiento y el radio de la trayectoria del protón. [1,5 puntos]

Datos: $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Un electrón se mueve en sentido positivo del eje }\boldsymbol{OX}\textbf{ en una región en la que existe un campo magnético uniforme dirigido en el sentido negativo del eje }\boldsymbol{OZ}\textbf{. i) Indique, de forma justificada y con ayuda de un esquema, la dirección y sentido en que debe actuar un campo eléctrico uniforme para que la partícula no se desvíe. ii) ¿Qué relación deben cumplir para ello los módulos de ambos campos? [1 punto]}$










i) Sobre el electrón actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F = q\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B)$

Se calcula primero la fuerza magnética. Con $\vec v = v\,\vec{\imath}$ y $\vec B = -B\,\vec k$:

$\vec v\times\vec B = v\,\vec{\imath}\times(-B\,\vec k) = v\,B\,\vec{\jmath}$





donde se ha usado que $\vec{\imath}\times\vec{k} = -\vec{\jmath}$. Como la carga del electrón es negativa:

$\vec F_B = (-e)\,v\,B\,\vec{\jmath} = -e\,v\,B\,\vec{\jmath}$

La fuerza magnética apunta en el sentido negativo del eje $OY$. Para que la partícula no se desvíe, la fuerza eléctrica debe ser igual y de sentido contrario, es decir, dirigida según $+\vec{\jmath}$:

$\vec F_E = (-e)\,\vec E = +e\,v\,B\,\vec{\jmath}$

Y al ser la carga negativa, el campo eléctrico ha de tener el sentido opuesto a la fuerza que produce:

$\vec E = -E\,\vec{\jmath}$

El campo eléctrico debe estar dirigido en el sentido negativo del eje $OY$.

ii) La condición de que la fuerza total sea nula obliga a que los dos módulos coincidan:

$e\,E = e\,v\,B \Rightarrow E = v\,B$

El cociente entre los dos campos ha de ser igual a la velocidad de la partícula. Este montaje es el selector de velocidades, y la condición no depende del signo de la carga: para un protón las dos fuerzas cambiarían de sentido a la vez y se seguirían compensando.

$\textbf{b) Un protón describe una trayectoria circular en sentido antihorario en el plano }\boldsymbol{XY}\textbf{, con una velocidad de módulo igual a }\boldsymbol{3\cdot10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{, en una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,05 T. i) Justifique, con ayuda de un esquema que incluya la trayectoria descrita por el protón, la dirección y sentido del campo magnético. ii) Calcule, de forma razonada, el periodo del movimiento y el radio de la trayectoria del protón. [1,5 puntos]}$










i) Para que la trayectoria sea circular, la fuerza magnética ha de hacer de fuerza centrípeta, es decir, ha de apuntar en todo momento hacia el centro de la circunferencia.

Se toma un punto concreto de la trayectoria. Si el protón está en el extremo derecho de la circunferencia y gira en sentido antihorario, su velocidad va según $+\vec{\jmath}$ y la fuerza debe ir según $-\vec{\imath}$.





Imponiendo esa condición en la fuerza de Lorentz, con la carga del protón positiva:

$\vec F = e\,(v\,\vec{\jmath}\times\vec B) = -F\,\vec{\imath}$

Y como $\vec{\jmath}\times(-\vec k) = -\vec{\imath}$, el campo tiene que ir en el sentido negativo del eje $OZ$:

$\vec B = -B\,\vec k$

El campo magnético es perpendicular al plano $XY$ y entra en él.

ii) Igualando la fuerza magnética a la centrípeta se obtiene el radio:

$e\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{m_p\,v}{e\,B}$

$r = \frac{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot3\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}05} = 6{,}38\cdot10^{-2}\ \text{m}$

El periodo es el tiempo que tarda en recorrer una vuelta completa:

$T = \frac{2\pi\,r}{v} = \frac{2\pi\,m_p}{e\,B}$

$T = \frac{2\pi\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}05} = 1{,}34\cdot10^{-6}\ \text{s}$

El radio de la trayectoria es de 6,38 cm y el protón tarda 1,34 microsegundos en dar una vuelta. Conviene destacar que, al sustituir el radio, la velocidad se simplifica: el periodo no depende de lo rápido que vaya la partícula, solo de su masa, su carga y el campo.