Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

a) Una espira circular situada en el plano $XY$, y que se desplaza por ese plano en ausencia de campo magnético, entra en una región en la que existe un campo magnético constante y uniforme dirigido en el sentido negativo del eje $OZ$. i) Justifique, ayudándose de esquemas, si en algún momento durante dicho desplazamiento cambiará el flujo magnético en la espira. ii) Justifique, ayudándose de un esquema, si en algún momento se inducirá corriente en la espira y cuál será su sentido. [1 punto]

b) Una espira circular de 5 cm de radio gira alrededor de uno de sus diámetros con una velocidad angular igual a $\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme de módulo igual a 10 T, perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial el flujo es máximo: i) calcule razonadamente, ayudándose de un esquema, la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en el instante $t = 50\ \text{s}$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Una espira circular situada en el plano }\boldsymbol{XY}\textbf{, y que se desplaza por ese plano en ausencia de campo magnético, entra en una región en la que existe un campo magnético constante y uniforme dirigido en el sentido negativo del eje }\boldsymbol{OZ}\textbf{. i) Justifique, ayudándose de esquemas, si en algún momento durante dicho desplazamiento cambiará el flujo magnético en la espira. ii) Justifique, ayudándose de un esquema, si en algún momento se inducirá corriente en la espira y cuál será su sentido. [1 punto]}$










i) El flujo a través de la espira es el producto del campo por la superficie de la espira que está dentro de la región de campo:

$\Phi = B\,S_{\text{dentro}}$

Mientras la espira está fuera, el flujo es nulo. Mientras va entrando, la superficie afectada por el campo crece y el flujo aumenta. Y una vez que está completamente dentro, la superficie afectada ya no cambia y el flujo se mantiene constante.





Sí cambia el flujo, por tanto, pero solo durante el tramo en el que la espira está atravesando el borde de la región.

ii) Por la ley de Faraday-Lenz, solo se induce corriente cuando el flujo varía:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

De modo que solo hay corriente inducida mientras la espira entra. Antes y después, la fuerza electromotriz es nula.

En cuanto al sentido, el campo va en el sentido negativo del eje $OZ$, es decir, entra en el plano del papel si se mira desde el semieje positivo, y el flujo entrante está aumentando. Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a ese aumento y crea dentro de la espira un campo saliente. Aplicando la regla de la mano derecha, la corriente circula en sentido antihorario visto desde el semieje $OZ$ positivo.

$\textbf{b) Una espira circular de 5 cm de radio gira alrededor de uno de sus diámetros con una velocidad angular igual a }\boldsymbol{\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}}\textbf{ en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme de módulo igual a 10 T, perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial el flujo es máximo: i) calcule razonadamente, ayudándose de un esquema, la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en el instante }\boldsymbol{t = 50\ \text{s}}\textbf{. [1,5 puntos]}$










i) Al girar la espira alrededor de un diámetro perpendicular al campo, el ángulo entre el campo y el vector superficie cambia uniformemente con el tiempo:

$\alpha = \omega\,t + \alpha_0$

Que el flujo sea máximo en el instante inicial significa que entonces el vector superficie es paralelo al campo, es decir, $\alpha_0 = 0$.





Se calcula la superficie de la espira, expresando el radio en unidades del Sistema Internacional:

$R = 5\ \text{cm} = 5\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$S = \pi R^2 = \pi\,(5\cdot10^{-2})^2 = 7{,}85\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$

Y el flujo resulta:

$\Phi(t) = B\,S\,\cos(\omega t) = 10\cdot7{,}85\cdot10^{-3}\cos(\pi t)$

$\Phi(t) = 7{,}85\cdot10^{-2}\cos(\pi t)\ \text{Wb}$

ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz, se deriva el flujo respecto del tiempo:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 7{,}85\cdot10^{-2}\cdot\pi\,\operatorname{sen}(\pi t)$

$\varepsilon(t) = 0{,}247\,\operatorname{sen}(\pi t)\ \text{V}$

Y en el instante pedido:

$\varepsilon(50) = 0{,}247\,\operatorname{sen}(50\pi) = 0\ \text{V}$

La fuerza electromotriz inducida en $t = 50\ \text{s}$ es nula. El motivo es que el periodo de rotación vale $T = 2\pi/\omega = 2\ \text{s}$, de modo que en 50 s la espira ha dado exactamente 25 vueltas completas y vuelve a estar en la posición inicial, donde el flujo es máximo. Y donde el flujo es máximo, su derivada es nula.