Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

a) Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Si en un punto del espacio cerca de dos masas el campo gravitatorio es nulo, también lo será el potencial gravitatorio». [1 punto]

b) Dos masas $m_1 = 10\ \text{kg}$ y $m_2 = 10\ \text{kg}$ se encuentran situadas en los puntos $A(0,0)\ \text{m}$ y $B(0,2)\ \text{m}$, respectivamente. i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto $C(1,1)\ \text{m}$ y determine su valor. ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa $m_3 = 1\ \text{kg}$ se desplaza desde el punto $D(1,0)\ \text{m}$ hasta el punto $C(1,1)\ \text{m}$. [1,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Razone la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: «Si en un punto del espacio cerca de dos masas el campo gravitatorio es nulo, también lo será el potencial gravitatorio». [1 punto]}$

La afirmación es falsa, y la razón es que el campo y el potencial son magnitudes de naturaleza distinta.

El campo gravitatorio es un vector, y en un punto próximo a dos masas es la suma vectorial de los campos que crea cada una:

$\vec g = \vec g_1 + \vec g_2$

Esa suma puede anularse si los dos vectores tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, y eso ocurre siempre en algún punto del segmento que une las dos masas.

El potencial gravitatorio, en cambio, es un escalar, y con el origen de potenciales en el infinito es siempre negativo, porque la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva:

$V = -G\frac{m_1}{r_1} - G\frac{m_2}{r_2}$

Los dos sumandos son negativos, de manera que su suma nunca puede anularse a distancia finita: no hay forma de que se compensen.

El contraejemplo más sencillo son dos masas iguales. En el punto medio del segmento que las une, los dos campos tienen igual módulo y sentidos contrarios y el campo total es nulo; sin embargo, el potencial en ese punto vale $-4\,G\,m/d$, que es el valor más negativo de todo el segmento.

$\textbf{b) Dos masas }\boldsymbol{m_1 = 10\ \text{kg}}\textbf{ y }\boldsymbol{m_2 = 10\ \text{kg}}\textbf{ se encuentran situadas en los puntos }\boldsymbol{A(0,0)\ \text{m}}\textbf{ y }\boldsymbol{B(0,2)\ \text{m}}\textbf{, respectivamente. i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto }\boldsymbol{C(1,1)\ \text{m}}\textbf{ y determine su valor. ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa }\boldsymbol{m_3 = 1\ \text{kg}}\textbf{ se desplaza desde el punto }\boldsymbol{D(1,0)\ \text{m}}\textbf{ hasta el punto }\boldsymbol{C(1,1)\ \text{m}}\textbf{. [1,5 puntos]}$










i) El punto $C(1,1)$ está en la mediatriz del segmento $AB$, así que equidista de las dos masas:

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2\ \text{m}$

Cada masa crea en $C$ un campo dirigido hacia ella, con el mismo módulo por ser iguales las masas y las distancias:

$g = G\frac{m}{r^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{10}{2} = 3{,}34\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$





Los dos vectores forman $45^\circ$ con el eje $X$, uno hacia abajo y otro hacia arriba. Al descomponerlos, las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman, las dos hacia el eje $Y$:

$g_y = 0$

$g_x = -2\,g\,\cos 45^\circ = -2\cdot3{,}34\cdot10^{-10}\cdot\frac{\sqrt2}{2}$

$\vec g_C = -4{,}72\cdot10^{-10}\,\vec{\imath}\ \text{N/kg}$

El campo en $C$ vale $4{,}72\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$ y apunta en el sentido negativo del eje $X$, es decir, hacia el segmento que une las dos masas, como impone la simetría del problema.

ii) El trabajo de la fuerza gravitatoria se calcula con la diferencia de potenciales. Las distancias desde $D(1,0)$ a las dos masas no son iguales:

$r_{AD} = 1\ \text{m} \qquad r_{BD} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt5 = 2{,}24\ \text{m}$

$V_D = -G\left(\frac{10}{1} + \frac{10}{2{,}24}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot14{,}47 = -9{,}65\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

Y desde $C$, las dos valen $\sqrt2$:

$V_C = -G\left(\frac{10}{\sqrt2} + \frac{10}{\sqrt2}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot14{,}14 = -9{,}43\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

El trabajo pedido es:

$W_{D\to C} = m_3\,(V_D - V_C) = 1\cdot\left(-9{,}65\cdot10^{-10} + 9{,}43\cdot10^{-10}\right)$

$W_{D\to C} = -2{,}20\cdot10^{-11}\ \text{J}$

El trabajo es negativo, de modo que el desplazamiento no es espontáneo: hay que aportar energía desde el exterior para llevar la masa desde $D$ hasta $C$, porque $C$ está a un potencial mayor, es decir, menos negativo.