Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

a) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura $h$ con una energía cinética igual a la potencial en dicho punto, tomando como origen de energía potencial el suelo. Explique razonadamente, utilizando consideraciones energéticas: i) la relación entre la altura inicial y la altura máxima que alcanza el cuerpo; ii) la relación entre la velocidad inicial y la velocidad con la que llega al suelo. [1 punto]

b) Un cuerpo de masa 2 kg desliza por una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2 con una velocidad inicial de $6\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Cuando ha recorrido 5 m sobre el plano horizontal, comienza a subir por un plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Utilizando consideraciones energéticas, determine: i) la velocidad con la que comienza a subir el cuerpo por el plano inclinado; ii) la distancia que recorre por el plano inclinado hasta alcanzar la altura máxima. [1,5 puntos]

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.

$\textbf{a) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde una altura }\boldsymbol{h}\textbf{ con una energía cinética igual a la potencial en dicho punto, tomando como origen de energía potencial el suelo. Explique razonadamente, utilizando consideraciones energéticas: i) la relación entre la altura inicial y la altura máxima que alcanza el cuerpo; ii) la relación entre la velocidad inicial y la velocidad con la que llega al suelo. [1 punto]}$

En un lanzamiento vertical solo actúa el peso, que es una fuerza conservativa, de modo que la energía mecánica se conserva a lo largo de todo el movimiento. La condición del enunciado es:

$E_c(h) = E_p(h) = m\,g\,h$

de manera que la energía mecánica del cuerpo vale:

$E_m = E_c(h) + E_p(h) = 2\,m\,g\,h$

i) En el punto más alto, de altura $H$, el cuerpo se detiene un instante y toda su energía es potencial:

$m\,g\,H = 2\,m\,g\,h$

$H = 2\,h$

La altura máxima es el doble de la altura desde la que se lanzó el cuerpo.

ii) La velocidad inicial se obtiene de la condición del enunciado:

$\frac12\,m\,v_0^2 = m\,g\,h \Rightarrow v_0 = \sqrt{2\,g\,h}$

Y en el suelo, donde la energía potencial es nula, toda la energía mecánica es cinética:

$\frac12\,m\,v^2 = 2\,m\,g\,h \Rightarrow v = \sqrt{4\,g\,h} = 2\sqrt{g\,h}$

Dividiendo las dos velocidades:

$\frac{v}{v_0} = \frac{2\sqrt{g\,h}}{\sqrt{2\,g\,h}} = \sqrt{2} = 1{,}41$

El cuerpo llega al suelo con una velocidad $\sqrt2$ veces mayor que la de lanzamiento. Obsérvese que ninguno de los dos resultados depende de la masa del cuerpo.

$\textbf{b) Un cuerpo de masa 2 kg desliza por una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento 0,2 con una velocidad inicial de }\boldsymbol{6\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. Cuando ha recorrido 5 m sobre el plano horizontal, comienza a subir por un plano inclinado sin rozamiento que forma un ángulo de }\boldsymbol{30^\circ}\textbf{ con la horizontal. Utilizando consideraciones energéticas, determine: i) la velocidad con la que comienza a subir el cuerpo por el plano inclinado; ii) la distancia que recorre por el plano inclinado hasta alcanzar la altura máxima. [1,5 puntos]}$










i) En el tramo horizontal, la normal equilibra al peso y la fuerza de rozamiento vale:

$F_r = \mu\,m\,g$

Es la única fuerza no conservativa, y el tramo es horizontal, así que su trabajo es igual a la variación de energía cinética.





Aplicando el teorema de la energía mecánica en el tramo horizontal:

$-\mu\,m\,g\,d = \frac12\,m\,v_1^2 - \frac12\,m\,v_0^2$

Se simplifica la masa y se despeja la velocidad al pie de la rampa:

$v_1^2 = v_0^2 - 2\,\mu\,g\,d = 6^2 - 2\cdot0{,}2\cdot9{,}8\cdot5 = 36 - 19{,}6 = 16{,}4$

$v_1 = 4{,}05\ \text{m/s}$

ii) En el plano inclinado no hay rozamiento, de modo que la energía mecánica se conserva y toda la energía cinética que le queda al cuerpo se convierte en energía potencial:

$\frac12\,m\,v_1^2 = m\,g\,h$

$h = \frac{v_1^2}{2\,g} = \frac{16{,}4}{2\cdot9{,}8} = 0{,}837\ \text{m}$

La distancia recorrida a lo largo del plano se obtiene de la altura y del ángulo:

$\operatorname{sen}30^\circ = \frac{h}{L} \Rightarrow L = \frac{0{,}837}{0{,}5}$

$L = 1{,}67\ \text{m}$

El cuerpo llega al pie de la rampa con 4,05 m/s y sube 1,67 m a lo largo del plano, lo que corresponde a una altura de 0,84 m. El rozamiento del primer tramo se ha llevado más de la mitad de su energía cinética inicial.