Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2022

a) Un rayo de luz monocromática se propaga por el aire e incide formando un ángulo de incidencia $\theta$ sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas. El rayo atraviesa la lámina, se propaga por el vidrio y sale nuevamente al aire. i) Dibuje un esquema de la trayectoria que sigue el rayo en el proceso descrito. ii) Analice su velocidad, longitud de onda y frecuencia a lo largo del camino citado. [1 punto]

b) Un rayo de luz monocromática se propaga desde el aire al agua, e incide formando un ángulo de $30^\circ$ con la normal a la superficie. El rayo refractado forma un ángulo de $128^\circ$ con el reflejado. i) Determine el ángulo de refracción ayudándose de un esquema. ii) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua. iii) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el agua hacia el aire, ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? Justifique sus respuestas. [1,5 puntos]

Datos: $n_{\text{aire}} = 1$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Un rayo de luz monocromática se propaga por el aire e incide formando un ángulo de incidencia }\boldsymbol{\theta}\textbf{ sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas. El rayo atraviesa la lámina, se propaga por el vidrio y sale nuevamente al aire. i) Dibuje un esquema de la trayectoria que sigue el rayo en el proceso descrito. ii) Analice su velocidad, longitud de onda y frecuencia a lo largo del camino citado. [1 punto]}$










i) Al entrar en el vidrio, que es más refringente que el aire, el rayo se acerca a la normal. Al salir de nuevo al aire ocurre lo contrario y se aleja de ella.

Como las dos caras son paralelas, sus normales también lo son, y el ángulo con el que el rayo emerge coincide con el de incidencia.





Aplicando la ley de Snell en las dos caras y encadenando:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}\theta = n_v\,\operatorname{sen}\hat r \qquad n_v\,\operatorname{sen}\hat r = n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}\theta'$

$\operatorname{sen}\theta = \operatorname{sen}\theta' \Rightarrow \theta' = \theta$

El rayo emergente es paralelo al incidente, simplemente desplazado lateralmente. Ese desplazamiento es tanto mayor cuanto más gruesa sea la lámina y más oblicuamente incida el rayo.

ii) La frecuencia no cambia en ningún momento, ni al entrar ni al salir: la impone el foco emisor y es la magnitud que identifica el color de la luz.

La velocidad disminuye al entrar en el vidrio y recupera su valor original al salir:

$v = \frac{c}{n}$

La longitud de onda hace lo mismo que la velocidad, porque la frecuencia es constante:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c}{n\,f}$

Se acorta dentro del vidrio y vuelve a su valor inicial al emerger al aire.

$\textbf{b) Un rayo de luz monocromática se propaga desde el aire al agua, e incide formando un ángulo de }\boldsymbol{30^\circ}\textbf{ con la normal a la superficie. El rayo refractado forma un ángulo de }\boldsymbol{128^\circ}\textbf{ con el reflejado. i) Determine el ángulo de refracción ayudándose de un esquema. ii) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua. iii) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el agua hacia el aire, ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? Justifique sus respuestas. [1,5 puntos]}$










i) El rayo reflejado sale por encima de la superficie formando con la normal el mismo ángulo que el incidente, $30^\circ$, y el refractado se adentra en el agua formando $\hat r$ con la prolongación de la normal.

Los tres ángulos que hay entre el rayo reflejado y el refractado, medidos alrededor del punto de incidencia, completan un ángulo llano.





Por tanto:

$30^\circ + 128^\circ + \hat r = 180^\circ$

$\hat r = 22^\circ$

El ángulo de refracción es de $22^\circ$, menor que el de incidencia, como corresponde al paso a un medio más refringente.

ii) Aplicando la ley de Snell se obtiene el índice de refracción del agua:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}30^\circ = n_{\text{agua}}\,\operatorname{sen}22^\circ$

$n_{\text{agua}} = \frac{\operatorname{sen}30^\circ}{\operatorname{sen}22^\circ} = \frac{0{,}500}{0{,}375} = 1{,}33$

Y con él, la velocidad de propagación:

$v = \frac{c}{n_{\text{agua}}} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}33} = 2{,}25\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

iii) La reflexión total solo puede producirse al pasar de un medio más refringente a otro menos refringente, que es justo el caso del agua al aire. El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante, con $\hat r = 90^\circ$:

$n_{\text{agua}}\,\operatorname{sen}\hat\imath_L = n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}90^\circ$

$\operatorname{sen}\hat\imath_L = \frac{1}{1{,}33} = 0{,}752$

$\hat\imath_L = 48{,}8^\circ$

A partir de un ángulo de incidencia de $48{,}8^\circ$ desaparece el rayo refractado y toda la luz vuelve al agua. Es la razón por la que un buceador que mira hacia arriba solo ve el exterior a través de un círculo luminoso, y fuera de él la superficie le parece un espejo.