Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2022

a) Un protón, un electrón y un neutrón entran con igual velocidad en un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad. Explique con la ayuda de un esquema la trayectoria seguida por cada partícula. [1 punto]

b) Un protón que parte del reposo es acelerado mediante una diferencia de potencial de $1{,}5\cdot10^{4}\ \text{V}$. Posteriormente, penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 12 T. Determine razonadamente: i) el radio de curvatura de la trayectoria que describe el protón; ii) el periodo de revolución. [1,5 puntos]

Datos: $m_p = 1{,}7\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Un protón, un electrón y un neutrón entran con igual velocidad en un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad. Explique con la ayuda de un esquema la trayectoria seguida por cada partícula. [1 punto]}$










La fuerza que sufre una carga en movimiento dentro de un campo magnético es la fuerza de Lorentz:

$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$

Sobre el neutrón, que no tiene carga, la fuerza es nula: sigue en línea recta y con velocidad constante, sin desviarse.





Sobre el protón y el electrón sí actúa la fuerza magnética. Al ser $\vec v$ perpendicular a $\vec B$, la fuerza es perpendicular a los dos y su módulo, constante:

$F = |q|\,v\,B$

Una fuerza de módulo constante y siempre perpendicular a la velocidad no cambia el módulo de esta, solo su dirección: es una fuerza centrípeta y la trayectoria resulta circular uniforme. Igualando la fuerza magnética a la centrípeta se obtiene el radio:

$|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{m\,v}{|q|\,B}$

Protón y electrón tienen cargas de igual valor absoluto pero de signo contrario, así que sus fuerzas son opuestas y describen circunferencias en sentidos contrarios. Y como el radio es proporcional a la masa:

$\frac{r_p}{r_e} = \frac{m_p}{m_e} \approx 1800$

la circunferencia del protón es unas 1800 veces mayor que la del electrón. El electrón describe rizos muy cerrados y el protón, un arco muy abierto.

$\textbf{b) Un protón que parte del reposo es acelerado mediante una diferencia de potencial de }\boldsymbol{1{,}5\cdot10^{4}\ \text{V}}\textbf{. Posteriormente, penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 12 T. Determine razonadamente: i) el radio de curvatura de la trayectoria que describe el protón; ii) el periodo de revolución. [1,5 puntos]}$










i) En la etapa de aceleración todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética, ya que el protón parte del reposo:

$e\,\Delta V = \frac12\,m_p\,v^2$

$v = \sqrt{\frac{2\,e\,\Delta V}{m_p}}$





Sustituyendo los datos:

$v = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}5\cdot10^{4}}{1{,}7\cdot10^{-27}}} = 1{,}68\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

Ya dentro del campo, la fuerza magnética hace de centrípeta:

$e\,v\,B = \frac{m_p\,v^2}{r} \Rightarrow r = \frac{m_p\,v}{e\,B}$

$r = \frac{1{,}7\cdot10^{-27}\cdot1{,}68\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot12} = 1{,}49\cdot10^{-3}\ \text{m}$

El radio de curvatura es de 1,49 mm.

ii) El periodo es el tiempo que tarda en recorrer una vuelta completa. Al ser el movimiento circular uniforme:

$T = \frac{2\pi\,r}{v}$

Y sustituyendo la expresión del radio, la velocidad se simplifica:

$T = \frac{2\pi}{v}\cdot\frac{m_p\,v}{e\,B} = \frac{2\pi\,m_p}{e\,B}$

$T = \frac{2\pi\cdot1{,}7\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot12} = 5{,}56\cdot10^{-9}\ \text{s}$

El protón tarda 5,56 ns en dar una vuelta. Conviene destacar el resultado: el periodo no depende ni de la velocidad ni del radio, solo de la masa, la carga y el campo. Es la propiedad en la que se basa el funcionamiento del ciclotrón.