Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

a) Dos cuerpos de masas $m$ y $2m$ están separados una distancia $d$. Razone, con la ayuda de un esquema, si se anula el campo o el potencial gravitatorio en algún punto del segmento que los une. [1 punto]

b) Dos masas iguales de 2 kg están situadas en los puntos $A(1,0)\ \text{m}$ y $B(-1,0)\ \text{m}$. i) Calcule la fuerza gravitatoria sobre una tercera masa $M$ de 1 kg situada en el punto $C(0,1)\ \text{m}$. ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la masa $M$ se desplaza hasta el origen de coordenadas. [1,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Dos cuerpos de masas }\boldsymbol{m}\textbf{ y }\boldsymbol{2m}\textbf{ están separados una distancia }\boldsymbol{d}\textbf{. Razone, con la ayuda de un esquema, si se anula el campo o el potencial gravitatorio en algún punto del segmento que los une. [1 punto]}$










El campo gravitatorio es una magnitud vectorial y apunta siempre hacia la masa que lo crea. En un punto del segmento que une los dos cuerpos, el campo de uno apunta hacia la izquierda y el del otro hacia la derecha: son opuestos y pueden cancelarse.





Llamando $x$ a la distancia a la masa $m$, la condición de campo nulo es:

$G\frac{m}{x^2} = G\frac{2m}{(d - x)^2}$

$\frac{d - x}{x} = \sqrt{2} \Rightarrow x = \frac{d}{1 + \sqrt2} = 0{,}414\,d$

Sí se anula el campo, y lo hace en un punto más cercano a la masa pequeña, a un 41,4 % del camino.

El potencial gravitatorio, en cambio, es una magnitud escalar y siempre negativa, porque la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva:

$V = -G\frac{m}{x} - G\frac{2m}{d - x}$

Los dos sumandos son negativos, de modo que su suma no puede anularse en ningún punto del segmento. El potencial solo tiende a cero cuando nos alejamos indefinidamente de las dos masas. Esta es la diferencia esencial con el campo eléctrico, donde el potencial sí puede anularse porque hay cargas de los dos signos.

$\textbf{b) Dos masas iguales de 2 kg están situadas en los puntos }\boldsymbol{A(1,0)\ \text{m}}\textbf{ y }\boldsymbol{B(-1,0)\ \text{m}}\textbf{. i) Calcule la fuerza gravitatoria sobre una tercera masa }\boldsymbol{M}\textbf{ de 1 kg situada en el punto }\boldsymbol{C(0,1)\ \text{m}}\textbf{. ii) Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando la masa }\boldsymbol{M}\textbf{ se desplaza hasta el origen de coordenadas. [1,5 puntos]}$










i) El punto $C$ está en la mediatriz del segmento $AB$, así que equidista de las dos masas:

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2\ \text{m}$

Aplicando la ley de gravitación universal, el módulo de cada una de las dos fuerzas es el mismo:

$F = G\frac{m\,M}{r^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{2\cdot1}{2}$

$F = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}$





Cada fuerza apunta desde $C$ hacia la masa que la crea, formando $45^\circ$ con el eje $Y$. Al descomponerlas, las componentes horizontales son opuestas y se cancelan, mientras que las verticales se suman, las dos hacia abajo:

$F_x = 0$

$F_y = -2\,F\,\cos 45^\circ = -2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{\sqrt2}{2}$

$\vec F = -9{,}43\cdot10^{-11}\,\vec{\jmath}\ \text{N}$

La fuerza total tiene un módulo de $9{,}43\cdot10^{-11}\ \text{N}$ y apunta hacia el origen, como impone la simetría del problema.

ii) El trabajo de la fuerza gravitatoria se calcula con la diferencia de potenciales. En $C$ las dos distancias valen $\sqrt2$ y en el origen valen 1 m:

$V_C = -G\left(\frac{2}{\sqrt2} + \frac{2}{\sqrt2}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}828 = -1{,}89\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

$V_O = -G\left(\frac{2}{1} + \frac{2}{1}\right) = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4 = -2{,}67\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

$W_{C\to O} = M\,(V_C - V_O) = 1\cdot\left(-1{,}89\cdot10^{-10} + 2{,}67\cdot10^{-10}\right)$

$W_{C\to O} = 7{,}81\cdot10^{-11}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, lo que confirma que el desplazamiento hacia el origen es espontáneo: es justo el sentido en el que apunta la fuerza calculada en el apartado anterior.