Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

a) Deduzca la expresión de la energía mecánica de un satélite de masa $m$ que orbita a una altura $h$ de la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$. Exprese el resultado en función de $m$, $M$, $R$ y $h$. [1 punto]

b) Un bloque de 2 kg asciende con una velocidad inicial de $8\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$ por un plano inclinado que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal hasta detenerse momentáneamente. A continuación, el bloque desciende hasta llegar al punto de partida. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. Determine mediante consideraciones energéticas: i) la altura máxima a la que llega el bloque; ii) la velocidad con la que regresa el bloque al punto de partida. [1,5 puntos]

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.

$\textbf{a) Deduzca la expresión de la energía mecánica de un satélite de masa }\boldsymbol{m}\textbf{ que orbita a una altura }\boldsymbol{h}\textbf{ de la superficie de un planeta de masa }\boldsymbol{M}\textbf{ y radio }\boldsymbol{R}\textbf{. Exprese el resultado en función de }\boldsymbol{m}\textbf{, }\boldsymbol{M}\textbf{, }\boldsymbol{R}\textbf{ y }\boldsymbol{h}\textbf{. [1 punto]}$










La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. La potencial es inmediata:

$E_p = -G\frac{M\,m}{r}$

y para la cinética hay que obtener antes la velocidad orbital. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y al describir una órbita circular esa fuerza es la centrípeta.





Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\frac{M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r} \Rightarrow m\,v^2 = G\frac{M\,m}{r}$

Con lo que la energía cinética resulta ser:

$E_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac12\,G\frac{M\,m}{r}$

Sumando las dos:

$E_m = E_c + E_p = \frac12\,G\frac{M\,m}{r} - G\frac{M\,m}{r} = -\frac12\,G\frac{M\,m}{r}$

Y sustituyendo la distancia al centro del planeta, que es el radio más la altura:

$E_m = -\frac{G\,M\,m}{2\,(R + h)}$

La energía mecánica del satélite es negativa, como corresponde a un estado ligado, y vale exactamente la mitad de la energía potencial. Su valor absoluto es la energía que habría que comunicarle para que escapase del campo gravitatorio del planeta.

$\textbf{b) Un bloque de 2 kg asciende con una velocidad inicial de }\boldsymbol{8\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{ por un plano inclinado que forma un ángulo de }\boldsymbol{30^\circ}\textbf{ con la horizontal hasta detenerse momentáneamente. A continuación, el bloque desciende hasta llegar al punto de partida. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,2. Determine mediante consideraciones energéticas: i) la altura máxima a la que llega el bloque; ii) la velocidad con la que regresa el bloque al punto de partida. [1,5 puntos]}$










i) Durante la subida actúan el peso, la normal y el rozamiento, que se opone al movimiento y por tanto apunta hacia abajo del plano. La normal equilibra la componente del peso perpendicular al plano:

$N = m\,g\,\cos 30^\circ$

$F_r = \mu\,m\,g\,\cos 30^\circ$





El rozamiento es la única fuerza no conservativa, así que su trabajo es igual a la variación de energía mecánica. Llamando $L$ a la distancia recorrida a lo largo del plano y tomando como origen de alturas el punto de partida:

$W_r = \Delta E_m = \left(0 + m\,g\,h\right) - \left(\frac12\,m\,v_0^2 + 0\right)$

$-\mu\,m\,g\,\cos 30^\circ\,L = m\,g\,L\,\operatorname{sen}30^\circ - \frac12\,m\,v_0^2$

Se simplifica la masa y se despeja la distancia recorrida:

$\frac12\,v_0^2 = g\,L\,(\operatorname{sen}30^\circ + \mu\,\cos 30^\circ)$

$L = \frac{\frac12\cdot8^2}{9{,}8\,(0{,}5 + 0{,}2\cdot0{,}866)} = \frac{32}{6{,}60} = 4{,}85\ \text{m}$

Y de ahí la altura máxima:

$h = L\,\operatorname{sen}30^\circ = 4{,}85\cdot0{,}5 = 2{,}43\ \text{m}$

ii) En la bajada el bloque recorre la misma distancia $L$, pero ahora el rozamiento apunta hacia arriba del plano. Su trabajo vuelve a ser negativo, con el mismo valor que antes:

$W_r = -\mu\,m\,g\,\cos 30^\circ\,L$

Aplicando de nuevo el teorema de la energía mecánica entre el punto más alto y el de partida:

$W_r = \left(\frac12\,m\,v^2 + 0\right) - \left(0 + m\,g\,h\right)$

$\frac12\,v^2 = g\,h - \mu\,g\,\cos 30^\circ\,L$

$\frac12\,v^2 = 9{,}8\cdot2{,}43 - 0{,}2\cdot9{,}8\cdot0{,}866\cdot4{,}85 = 23{,}77 - 8{,}23$

$v = \sqrt{2\cdot15{,}53} = 5{,}57\ \text{m/s}$

El bloque sube 2,43 m de altura y regresa al punto de partida con 5,57 m/s, bastante menos que los 8 m/s con los que salió. La diferencia es la energía que el rozamiento ha disipado en los dos tramos, que suman casi diez metros de recorrido.