Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2022

a) i) Defina defecto de masa y energía de enlace de un núcleo. ii) Indique razonadamente cómo están relacionadas entre sí ambas magnitudes. [1 punto]

b) El $^{235}_{92}\text{U}$ se puede desintegrar, por absorción de un neutrón, mediante diversos procesos de fisión. Uno de estos procesos consiste en la producción de $^{95}_{38}\text{Sr}$, dos neutrones y un tercer núcleo $^{A}_{Z}\text{Q}$. i) Escriba la reacción nuclear correspondiente y determine el número de protones y número total de nucleones del tercer núcleo. ii) Calcule la energía producida por la fisión de un núcleo de uranio en la reacción anterior. [1,5 puntos]

Datos: $m(^{235}_{92}\text{U}) = 235{,}043930\ \text{u}$; $m(^{95}_{38}\text{Sr}) = 94{,}919359\ \text{u}$; $m(^{A}_{Z}\text{Q}) = 138{,}918793\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) i) Defina defecto de masa y energía de enlace de un núcleo. ii) Indique razonadamente cómo están relacionadas entre sí ambas magnitudes. [1 punto]}$

i) Se llama defecto de masa a la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones considerados por separado y la masa real del núcleo que forman:

$\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m_{\text{núcleo}}$

donde $Z$ es el número de protones, $A - Z$ el de neutrones y $A$ el número másico. Experimentalmente se comprueba que esta cantidad es siempre positiva: todo núcleo pesa menos que sus componentes aislados.

La energía de enlace es la energía que hay que aportar a un núcleo para separarlo por completo en sus nucleones, dejándolos en reposo y a distancia infinita unos de otros. Equivale también a la energía que se libera cuando el núcleo se forma a partir de sus nucleones.

ii) Las dos magnitudes están relacionadas por la equivalencia entre masa y energía de Einstein:

$E_e = \Delta m\,c^2$

La lectura física es la siguiente: al unirse los nucleones para formar el núcleo se libera energía, y esa energía se pierde del sistema. Como la energía tiene masa asociada, el núcleo resultante pesa menos que la suma de sus partes, y la masa que falta es exactamente el defecto de masa. Para volver a separar los nucleones hay que devolver esa misma energía.

Conviene añadir que la magnitud que mide la estabilidad no es la energía de enlace total, que crece sin más con el tamaño del núcleo, sino la energía de enlace por nucleón, $E_e/A$.

$\textbf{b) El }\boldsymbol{^{235}_{92}\text{U}}\textbf{ se puede desintegrar, por absorción de un neutrón, mediante diversos procesos de fisión. Uno de estos procesos consiste en la producción de }\boldsymbol{^{95}_{38}\text{Sr}}\textbf{, dos neutrones y un tercer núcleo }\boldsymbol{^{A}_{Z}\text{Q}}\textbf{. i) Escriba la reacción nuclear correspondiente y determine el número de protones y número total de nucleones del tercer núcleo. ii) Calcule la energía producida por la fisión de un núcleo de uranio en la reacción anterior. [1,5 puntos]}$

i) La reacción es:

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}n \longrightarrow\ ^{95}_{38}\text{Sr} + 2\ ^{1}_{0}n + ^{A}_{Z}\text{Q}$

Se aplican la conservación del número másico y la del número atómico. Del número másico:

$235 + 1 = 95 + 2\cdot1 + A \Rightarrow A = 139$

Y del número atómico:

$92 + 0 = 38 + 2\cdot0 + Z \Rightarrow Z = 54$

El tercer núcleo tiene 54 protones y 139 nucleones en total, de modo que se trata del $^{139}_{54}\text{Xe}$, un isótopo del xenón. La reacción completa es:

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}n \longrightarrow\ ^{95}_{38}\text{Sr} + ^{139}_{54}\text{Xe} + 2\ ^{1}_{0}n$

ii) La energía producida procede del defecto de masa de la reacción. Se calcula la diferencia entre la masa de los reactivos y la de los productos:

$\Delta m = \left(m_U + m_n\right) - \left(m_{Sr} + m_Q + 2\,m_n\right)$

$\Delta m = (235{,}043930 + 1{,}008665) - (94{,}919359 + 138{,}918793 + 2\cdot1{,}008665)$

$\Delta m = 236{,}052595 - 235{,}855482 = 0{,}197113\ \text{u}$

Se pasa a kilogramos y se aplica la equivalencia masa-energía:

$E = \Delta m\,c^2 = 0{,}197113\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E = 2{,}94\cdot10^{-11}\ \text{J}$

La fisión de un solo núcleo de uranio libera $2{,}94\cdot10^{-11}\ \text{J}$, unos 184 MeV. Es una cantidad enorme comparada con los pocos electronvoltios que libera una reacción química por molécula, y ahí está la razón de que la fisión nuclear sea una fuente de energía tan concentrada.