Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2022

a) En el efecto fotoeléctrico, la luz incidente sobre una superficie metálica provoca la emisión de electrones de la superficie. Discuta la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Se desprenden electrones solo si la longitud de onda de la radiación incidente es superior a un valor mínimo. ii) La energía cinética máxima de los electrones es independiente del tipo de metal. iii) La energía cinética máxima de los electrones es independiente de la intensidad de la luz incidente. [1 punto]

b) Los electrones emitidos por una superficie metálica tienen una energía cinética máxima de $4\cdot10^{-19}\ \text{J}$ para una radiación incidente de $3{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ de longitud de onda. Calcule: i) el trabajo de extracción de un electrón individual y de un mol de electrones, en julios; ii) la diferencia de potencial mínima requerida para frenar los electrones emitidos. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $N_A = 6{,}02\cdot10^{23}\ \text{mol}^{-1}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) En el efecto fotoeléctrico, la luz incidente sobre una superficie metálica provoca la emisión de electrones de la superficie. Discuta la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) Se desprenden electrones solo si la longitud de onda de la radiación incidente es superior a un valor mínimo. ii) La energía cinética máxima de los electrones es independiente del tipo de metal. iii) La energía cinética máxima de los electrones es independiente de la intensidad de la luz incidente. [1 punto]}$

Las tres afirmaciones se discuten con la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:

$h\,f = W_{\text{ext}} + E_{c,\max}$

i) La afirmación es falsa. La condición para que haya emisión es que la energía del fotón supere el trabajo de extracción, es decir, que la frecuencia supere la frecuencia umbral:

$f > f_0 = \frac{W_{\text{ext}}}{h}$

Como la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia, esa condición se traduce en que la longitud de onda sea menor que un valor máximo, y no mayor que un valor mínimo como dice el enunciado:

$\lambda < \lambda_0 = \frac{h\,c}{W_{\text{ext}}}$

La afirmación invierte la desigualdad.

ii) La afirmación también es falsa. El trabajo de extracción es una propiedad de cada metal, y aparece restando en la energía cinética máxima:

$E_{c,\max} = h\,f - W_{\text{ext}}$

Con la misma radiación incidente, dos metales distintos emiten electrones con energías cinéticas máximas distintas: el de menor trabajo de extracción los emite más rápidos.

iii) Esta afirmación es verdadera, y es uno de los resultados que la física clásica no supo explicar. La intensidad de la luz mide el número de fotones que llegan por unidad de tiempo, no la energía de cada uno. Al aumentarla se arrancan más electrones por segundo, es decir, aumenta la intensidad de la corriente fotoeléctrica, pero cada electrón individual sigue recibiendo la energía de un solo fotón, $h\,f$, y su energía cinética máxima no cambia.

$\textbf{b) Los electrones emitidos por una superficie metálica tienen una energía cinética máxima de }\boldsymbol{4\cdot10^{-19}\ \text{J}}\textbf{ para una radiación incidente de }\boldsymbol{3{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{ de longitud de onda. Calcule: i) el trabajo de extracción de un electrón individual y de un mol de electrones, en julios; ii) la diferencia de potencial mínima requerida para frenar los electrones emitidos. [1,5 puntos]}$










i) Se calcula primero la energía de los fotones incidentes a partir de su longitud de onda:

$E_{\text{fotón}} = h\,f = \frac{h\,c}{\lambda}$

$E_{\text{fotón}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{3{,}5\cdot10^{-7}} = 5{,}68\cdot10^{-19}\ \text{J}$





Y de la ecuación de Einstein se despeja el trabajo de extracción:

$W_{\text{ext}} = E_{\text{fotón}} - E_{c,\max} = 5{,}68\cdot10^{-19} - 4\cdot10^{-19}$

$W_{\text{ext}} = 1{,}68\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Para un mol de electrones basta con multiplicar por el número de Avogadro:

$W_{\text{mol}} = W_{\text{ext}}\cdot N_A = 1{,}68\cdot10^{-19}\cdot6{,}02\cdot10^{23}$

$W_{\text{mol}} = 1{,}01\cdot10^{5}\ \text{J/mol}$

ii) El potencial de frenado es la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos. El trabajo eléctrico ha de igualar a su energía cinética máxima:

$e\,V_f = E_{c,\max} \Rightarrow V_f = \frac{E_{c,\max}}{e} = \frac{4\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}$

$V_f = 2{,}5\ \text{V}$

El trabajo de extracción del metal es $1{,}68\cdot10^{-19}\ \text{J}$, que equivale a 1,05 eV, y hacen falta 2,5 V para cortar la corriente fotoeléctrica. Obsérvese que arrancar un mol de electrones cuesta unos 101 kJ, del mismo orden que una energía de enlace químico: el efecto fotoeléctrico afecta a los electrones más externos del metal.