Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2022

a) ¿Qué significa que una onda armónica es doblemente periódica? Explíquelo apoyándose en las gráficas correspondientes. [1 punto]

b) Una onda armónica transversal se propaga en sentido negativo del eje $OX$ con una velocidad de propagación de $3\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Si su longitud de onda es de 1,5 m y su amplitud es de 2 m: i) escriba la ecuación de la onda teniendo en cuenta que en el punto $x = 0\ \text{m}$ y en el instante $t = 0\ \text{s}$ la perturbación es nula y la velocidad de oscilación es positiva. ii) Determine la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del medio. [1,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Qué significa que una onda armónica es doblemente periódica? Explíquelo apoyándose en las gráficas correspondientes. [1 punto]}$

Que una onda armónica es doblemente periódica significa que su ecuación se repite tanto al avanzar en el espacio como al avanzar en el tiempo. La ecuación de onda depende de dos variables:

$y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t - k x)$

y es periódica en cada una de ellas por separado.
















La periodicidad espacial se ve fijando un instante y fotografiando el medio entero, que es la primera gráfica. El perfil de la onda se repite cada longitud de onda:

$y(x + \lambda,\,t) = y(x,t) \qquad \lambda = \frac{2\pi}{k}$

La longitud de onda es, por tanto, la distancia mínima entre dos puntos que en el mismo instante están en idéntico estado de vibración.

La periodicidad temporal se ve fijando un punto del medio y observando cómo oscila, que es la segunda gráfica. Su movimiento se repite cada periodo:

$y(x,\,t + T) = y(x,t) \qquad T = \frac{2\pi}{\omega}$

El periodo es el tiempo mínimo que tarda un punto en repetir su estado de vibración.

Las dos periodicidades están ligadas por la velocidad de propagación, que es la distancia que avanza la onda en un periodo:

$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda\,f$

$\textbf{b) Una onda armónica transversal se propaga en sentido negativo del eje }\boldsymbol{OX}\textbf{ con una velocidad de propagación de }\boldsymbol{3\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. Si su longitud de onda es de 1,5 m y su amplitud es de 2 m: i) escriba la ecuación de la onda teniendo en cuenta que en el punto }\boldsymbol{x = 0\ \text{m}}\textbf{ y en el instante }\boldsymbol{t = 0\ \text{s}}\textbf{ la perturbación es nula y la velocidad de oscilación es positiva. ii) Determine la velocidad máxima de oscilación de un punto cualquiera del medio. [1,5 puntos]}$

i) Se calculan primero el periodo, la frecuencia angular y el número de onda:

$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{1{,}5}{3} = 0{,}5\ \text{s}$

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 4\pi\ \text{rad/s}$

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1{,}5} = \frac{4\pi}{3}\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido negativo del eje $OX$, los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t + k x + \varphi_0)$

Se imponen ahora las dos condiciones iniciales. La primera es que la elongación sea nula:

$y(0,0) = 2\,\operatorname{sen}\varphi_0 = 0 \Rightarrow \varphi_0 = 0 \text{ o } \varphi_0 = \pi$

Para decidir entre las dos se usa la segunda condición. La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t + k x + \varphi_0)$

$v_y(0,0) = 2\cdot4\pi\cdot\cos\varphi_0 > 0 \Rightarrow \cos\varphi_0 > 0$

Se descarta $\varphi_0 = \pi$, cuyo coseno es negativo, y queda $\varphi_0 = 0$. La ecuación de la onda es:

$y(x,t) = 2\,\operatorname{sen}\!\left(4\pi t + \frac{4\pi}{3}x\right)$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

ii) La velocidad máxima de oscilación es el valor máximo de $v_y$, que se alcanza cuando el coseno vale la unidad:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 2\cdot4\pi = 8\pi$

$v_{y,\max} = 25{,}1\ \text{m/s}$

Cada punto del medio oscila verticalmente con una velocidad que llega hasta 25,1 m/s, más de ocho veces la velocidad con la que avanza la onda. No hay contradicción: son dos magnitudes distintas, y la velocidad de oscilación depende de la amplitud mientras que la de propagación depende solo del medio.