Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2023

a) Una molécula de oxígeno y otra de nitrógeno tienen la misma energía cinética. Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda de estas dos moléculas sabiendo que la masa de la molécula de oxígeno es 1,14 veces mayor que la masa de la de nitrógeno. [1 punto]

b) En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencial de 3000 V a electrones que inicialmente están en reposo. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie de los electrones; ii) la longitud de onda de De Broglie si la diferencia de potencial se reduce a 50 V. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Una molécula de oxígeno y otra de nitrógeno tienen la misma energía cinética. Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda de estas dos moléculas sabiendo que la masa de la molécula de oxígeno es 1,14 veces mayor que la masa de la de nitrógeno. [1 punto]}$

Según la hipótesis de De Broglie, a toda partícula en movimiento le corresponde una onda asociada de longitud:

$\lambda = \frac{h}{p}$

Conviene expresar el momento lineal en función de la energía cinética, que es la magnitud que comparten las dos moléculas:

$E_c = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2\,m\,E_c}$

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Con la misma energía cinética, la longitud de onda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa. Dividiendo las dos expresiones:

$\frac{\lambda_{O_2}}{\lambda_{N_2}} = \sqrt{\frac{m_{N_2}}{m_{O_2}}} = \sqrt{\frac{1}{1{,}14}} = 0{,}94$

La longitud de onda de la molécula de oxígeno es 0,94 veces la de la de nitrógeno, es decir, algo menor, porque el oxígeno es la más pesada de las dos. Dicho al revés, la del nitrógeno es 1,07 veces la del oxígeno.

$\textbf{b) En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencial de 3000 V a electrones que inicialmente están en reposo. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie de los electrones; ii) la longitud de onda de De Broglie si la diferencia de potencial se reduce a 50 V. [1,5 puntos]}$

i) Los electrones parten del reposo y son acelerados por la diferencia de potencial, de modo que todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética:

$E_c = e\,\Delta V = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3000 = 4{,}8\cdot10^{-16}\ \text{J}$

Con ella se obtiene el momento lineal:

$p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot4{,}8\cdot10^{-16}}$

$p = 2{,}96\cdot10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$

Y la longitud de onda de De Broglie:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{2{,}96\cdot10^{-23}} = 2{,}24\cdot10^{-11}\ \text{m}$

ii) Combinando las dos expresiones anteriores se obtiene la dependencia con el potencial acelerador:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,\Delta V}}$

La longitud de onda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del potencial, así que basta con escalar el resultado anterior:

$\frac{\lambda'}{\lambda} = \sqrt{\frac{3000}{50}} = \sqrt{60} = 7{,}75$

$\lambda' = 7{,}75\cdot2{,}24\cdot10^{-11} = 1{,}74\cdot10^{-10}\ \text{m}$

Con 3000 V la longitud de onda asociada es de $2{,}24\cdot10^{-11}\ \text{m}$, unas veinticinco mil veces menor que la de la luz visible, y de ahí procede el enorme poder de resolución del microscopio electrónico. Al bajar el potencial a 50 V la longitud de onda se hace casi ocho veces mayor y la resolución del instrumento empeora en la misma proporción.