Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2023

a) Se tienen dos muestras radiactivas de dos elementos diferentes, ambas con el mismo número inicial de núcleos. La constante radiactiva de un elemento es el doble que la del otro. i) Deduzca cómo cambia con el tiempo la relación entre el número de núcleos de las dos muestras. ii) Determine cómo varía con el tiempo la relación entre las actividades de las dos muestras. [1 punto]

b) El tritio, con un periodo de semidesintegración de 12,33 años, se puede usar para analizar la antigüedad de vinos, ya que estos contienen agua. En el año 2023 se toma una muestra del vino hallado en una antigua bodega y se obtiene que la actividad de la muestra es $1{,}24\cdot10^{-3}$ veces la inicial. i) Calcule la constante radiactiva del tritio. ii) Determine el tiempo que ha estado embotellado el vino. iii) Justifique si es compatible la datación radiactiva con la suposición de que el vino fue embotellado entre los años 1900 y 1935. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Se tienen dos muestras radiactivas de dos elementos diferentes, ambas con el mismo número inicial de núcleos. La constante radiactiva de un elemento es el doble que la del otro. i) Deduzca cómo cambia con el tiempo la relación entre el número de núcleos de las dos muestras. ii) Determine cómo varía con el tiempo la relación entre las actividades de las dos muestras. [1 punto]}$

Se parte de la ley de desintegración radiactiva. Llamando $\lambda_1 = 2\lambda_2$ y $N_0$ al número inicial de núcleos, común a las dos muestras:

$N_1 = N_0\,e^{-\lambda_1 t} \qquad N_2 = N_0\,e^{-\lambda_2 t}$

i) Dividiendo miembro a miembro:

$\frac{N_1}{N_2} = e^{-(\lambda_1 - \lambda_2)\,t}$

Y sustituyendo $\lambda_1 = 2\lambda_2$, con lo que $\lambda_1 - \lambda_2 = \lambda_2$:

$\frac{N_1}{N_2} = e^{-\lambda_2 t}$

La relación parte de la unidad en el instante inicial, porque las dos muestras tienen el mismo número de núcleos, y decrece exponencialmente con el tiempo: la muestra de constante radiactiva doble se desintegra más deprisa y cada vez le quedan proporcionalmente menos núcleos.

ii) La actividad de una muestra es el producto de su constante radiactiva por el número de núcleos presentes:

$A = \lambda\,N$

Dividiendo las actividades de las dos muestras:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\lambda_1\,N_1}{\lambda_2\,N_2} = 2\,\frac{N_1}{N_2} = 2\,e^{-\lambda_2 t}$

La relación entre las actividades parte de 2 en el instante inicial, porque la primera muestra se desintegra al doble de ritmo con el mismo número de núcleos, y decrece después con la misma exponencial que la relación entre los números de núcleos.

$\textbf{b) El tritio, con un periodo de semidesintegración de 12,33 años, se puede usar para analizar la antigüedad de vinos, ya que estos contienen agua. En el año 2023 se toma una muestra del vino hallado en una antigua bodega y se obtiene que la actividad de la muestra es }\boldsymbol{1{,}24\cdot10^{-3}}\textbf{ veces la inicial. i) Calcule la constante radiactiva del tritio. ii) Determine el tiempo que ha estado embotellado el vino. iii) Justifique si es compatible la datación radiactiva con la suposición de que el vino fue embotellado entre los años 1900 y 1935. [1,5 puntos]}$

i) La constante radiactiva se relaciona con el periodo de semidesintegración imponiendo que en ese tiempo quede la mitad de los núcleos:

$N = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

$\lambda = \frac{\ln 2}{12{,}33} = 5{,}62\cdot10^{-2}\ \text{años}^{-1}$

ii) La actividad sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos, porque es proporcional a él:

$A = A_0\,e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} = 1{,}24\cdot10^{-3}$

Tomando logaritmos neperianos y despejando el tiempo:

$t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\!\left(\frac{A_0}{A}\right) = \frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{1{,}24\cdot10^{-3}}\right)}{5{,}62\cdot10^{-2}}$

$t = \frac{6{,}69}{5{,}62\cdot10^{-2}} = 119\ \text{años}$

El vino lleva embotellado unos 119 años.

iii) Se resta ese tiempo del año en el que se toma la muestra:

$2023 - 119 = 1904$

El año obtenido, 1904, cae dentro del intervalo 1900-1935, de modo que la datación radiactiva sí es compatible con la suposición. Conviene observar que el método es muy sensible en este caso: 119 años son casi diez periodos de semidesintegración, así que queda menos de la milésima parte de la actividad inicial y cualquier error de medida en una actividad tan pequeña se traduce en un error apreciable en la fecha.