Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2023

a) Un rayo de luz pasa del aire a otro medio con un índice de refracción mayor. Razone cómo cambian el ángulo con la normal, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación. [1 punto]

b) Un haz de luz con una longitud de onda de $5{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ que se propaga a través del aire incide sobre la superficie de un material transparente. El haz incidente forma un ángulo de $40^\circ$ con la normal, mientras que el haz refractado forma un ángulo de $26^\circ$ con la normal. i) Realice un esquema con la trayectoria de los rayos y calcule el índice de refracción del material. ii) Determine razonadamente su longitud de onda en el interior del mismo. [1,5 puntos]

Datos: $n_{\text{aire}} = 1$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Un rayo de luz pasa del aire a otro medio con un índice de refracción mayor. Razone cómo cambian el ángulo con la normal, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación. [1 punto]}$

Al cambiar de medio, lo único que no cambia es la frecuencia, porque la impone el foco emisor y no el medio por el que la onda viaja. De ahí se deduce todo lo demás.

La velocidad de propagación disminuye, porque el índice de refracción es el cociente entre la velocidad en el vacío y la velocidad en el medio:

$n = \frac{c}{v} \Rightarrow v = \frac{c}{n}$

y un índice mayor da una velocidad menor.

La longitud de onda también disminuye. Como la frecuencia se conserva y $v = \lambda\,f$:

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{c}{n\,f}$

de manera que $\lambda$ es inversamente proporcional al índice de refracción.

El ángulo con la normal disminuye: el rayo se acerca a la normal. Por la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}\hat\imath = n\,\operatorname{sen}\hat r \Rightarrow \operatorname{sen}\hat r = \frac{n_{\text{aire}}}{n}\,\operatorname{sen}\hat\imath$

y como $n > n_{\text{aire}}$, resulta $\operatorname{sen}\hat r < \operatorname{sen}\hat\imath$ y por tanto $\hat r < \hat\imath$.

Conviene añadir que, en este sentido de paso, no puede haber reflexión total: la reflexión total solo ocurre cuando la luz va de un medio más refringente a otro menos refringente.

$\textbf{b) Un haz de luz con una longitud de onda de }\boldsymbol{5{,}5\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{ que se propaga a través del aire incide sobre la superficie de un material transparente. El haz incidente forma un ángulo de }\boldsymbol{40^\circ}\textbf{ con la normal, mientras que el haz refractado forma un ángulo de }\boldsymbol{26^\circ}\textbf{ con la normal. i) Realice un esquema con la trayectoria de los rayos y calcule el índice de refracción del material. ii) Determine razonadamente su longitud de onda en el interior del mismo. [1,5 puntos]}$










i) El rayo se acerca a la normal al pasar al material, lo que confirma que este es más refringente que el aire. Aplicando la ley de Snell:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}\hat\imath = n\,\operatorname{sen}\hat r$

$n = \frac{\operatorname{sen}40^\circ}{\operatorname{sen}26^\circ}$





Sustituyendo los valores de los senos:

$n = \frac{0{,}643}{0{,}438} = 1{,}47$

El índice de refracción del material es 1,47, próximo al del vidrio común.

ii) La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, así que el producto del índice por la longitud de onda se conserva:

$n_{\text{aire}}\,\lambda_{\text{aire}} = n\,\lambda$

$\lambda = \frac{n_{\text{aire}}\,\lambda_{\text{aire}}}{n} = \frac{1\cdot5{,}5\cdot10^{-7}}{1{,}47}$

$\lambda = 3{,}75\cdot10^{-7}\ \text{m}$

Dentro del material la longitud de onda es de $3{,}75\cdot10^{-7}\ \text{m}$, menor que en el aire. El color de la luz, que depende de la frecuencia, no cambia: lo que se acorta es la longitud de onda, porque la luz viaja más despacio.