Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

a) i) Defina el concepto de flujo magnético e indique sus unidades en el S. I. ii) Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme $\vec{B} = B_0\,\vec{k}$. Represente gráficamente y explique para qué orientaciones de la espira el flujo magnético a través de ella es máximo y nulo. [1 punto]

b) Una espira rectangular de lados 10 y 15 cm se encuentra situada en el plano $XY$ dentro de un campo magnético variable con el tiempo $\vec{B}(t) = 2t^3\,\vec{k}\ \text{T}$ ($t$ en segundos). i) Calcule el flujo magnético en $t = 2\ \text{s}$. ii) Determine la fuerza electromotriz inducida en $t = 2\ \text{s}$. iii) Razone el sentido de la corriente inducida con la ayuda de un esquema. [1,5 puntos]

$\textbf{a) i) Defina el concepto de flujo magnético e indique sus unidades en el S. I. ii) Una espira conductora plana se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme }\boldsymbol{\vec{B} = B_0\,\vec{k}}\textbf{. Represente gráficamente y explique para qué orientaciones de la espira el flujo magnético a través de ella es máximo y nulo. [1 punto]}$

i) El flujo magnético a través de una superficie mide el número de líneas de campo que la atraviesan. Para un campo uniforme y una superficie plana se define como el producto escalar del campo por el vector superficie:

$\Phi = \vec B\cdot\vec S = B\,S\,\cos\alpha$

donde $\vec S$ es un vector de módulo igual al área de la espira y dirección perpendicular a su plano, y $\alpha$ el ángulo que forman ambos vectores. Su unidad en el Sistema Internacional es el weber:

$1\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$

ii) El flujo depende únicamente de la orientación a través del factor $\cos\alpha$.
















El flujo es máximo cuando el vector superficie es paralelo al campo, es decir, cuando la espira se sitúa en el plano $XY$, perpendicular al eje $OZ$:

$\alpha = 0^\circ \Rightarrow \Phi = B_0\,S$

Todas las líneas de campo atraviesan la espira.

El flujo es nulo cuando el vector superficie es perpendicular al campo, es decir, cuando el plano de la espira contiene al eje $OZ$:

$\alpha = 90^\circ \Rightarrow \Phi = 0$

El campo queda entonces contenido en el plano de la espira y no la atraviesa ninguna línea.

$\textbf{b) Una espira rectangular de lados 10 y 15 cm se encuentra situada en el plano }\boldsymbol{XY}\textbf{ dentro de un campo magnético variable con el tiempo }\boldsymbol{\vec{B}(t) = 2t^3\,\vec{k}\ \text{T}}\textbf{ (}\boldsymbol{t}\textbf{ en segundos). i) Calcule el flujo magnético en }\boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{. ii) Determine la fuerza electromotriz inducida en }\boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{. iii) Razone el sentido de la corriente inducida con la ayuda de un esquema. [1,5 puntos]}$

i) La espira está en el plano $XY$ y el campo va según el eje $OZ$, de modo que el vector superficie es paralelo al campo y $\cos\alpha = 1$. Se expresan los lados en unidades del Sistema Internacional:

$S = 0{,}10\cdot0{,}15 = 1{,}5\cdot10^{-2}\ \text{m}^2$

$\Phi(t) = B(t)\,S = 2t^3\cdot1{,}5\cdot10^{-2} = 3\cdot10^{-2}\,t^3\ \text{Wb}$

$\Phi(2) = 3\cdot10^{-2}\cdot2^3 = 0{,}24\ \text{Wb}$

ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -3\cdot10^{-2}\cdot3t^2 = -9\cdot10^{-2}\,t^2$

$\varepsilon(2) = -9\cdot10^{-2}\cdot2^2 = -0{,}36\ \text{V}$

La fuerza electromotriz inducida tiene un módulo de 0,36 V, y el signo negativo es el que expresa la oposición de la ley de Lenz.










iii) En $t = 2\ \text{s}$ el campo va en el sentido positivo del eje $OZ$, es decir, sale del plano del papel si se mira desde ese eje, y está creciendo, porque su derivada $6t^2$ es positiva.





Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone al aumento del flujo saliente, de manera que ha de crear dentro de la espira un campo entrante, en el sentido negativo del eje $OZ$. Aplicando la regla de la mano derecha, la corriente inducida circula en sentido horario visto desde el semieje $OZ$ positivo.