Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

a) Una masa puntual $m$ se encuentra en las inmediaciones de otra masa puntual $M$. Razone cómo se modifica la energía potencial gravitatoria cuando: i) las dos masas se acercan; ii) aumenta el valor de la masa $m$. [1 punto]

b) Dos masas de 5 kg se encuentran en los puntos $A(0,2)$ y $B(2,0)\ \text{m}$. Determine razonadamente: i) el valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto $C(0,0)\ \text{m}$; ii) el potencial gravitatorio en el mismo punto; iii) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de 3 kg desde $C$ hasta el punto $D(2,2)\ \text{m}$. Justifique el resultado obtenido. [1,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Una masa puntual }\boldsymbol{m}\textbf{ se encuentra en las inmediaciones de otra masa puntual }\boldsymbol{M}\textbf{. Razone cómo se modifica la energía potencial gravitatoria cuando: i) las dos masas se acercan; ii) aumenta el valor de la masa }\boldsymbol{m}\textbf{. [1 punto]}$

La energía potencial gravitatoria del sistema formado por las dos masas, con el origen de energías en el infinito, es:

$E_p = -G\frac{M\,m}{r}$

Es siempre negativa, porque la interacción gravitatoria es exclusivamente atractiva y hay que aportar energía para separar las masas.

i) Si las dos masas se acercan, $r$ disminuye y el cociente $M\,m/r$ aumenta. Al llevar el signo menos delante, la energía potencial se hace más negativa, es decir, disminuye:

$r \downarrow \Rightarrow |E_p| \uparrow \Rightarrow E_p \downarrow$

Es coherente con lo que ocurre físicamente: al acercarse espontáneamente, las masas ganan energía cinética a costa de perder energía potencial.

ii) Si aumenta el valor de $m$ manteniendo la distancia, el producto $M\,m$ crece y, de nuevo por el signo negativo, la energía potencial disminuye. El sistema queda más ligado: cuesta más energía separar las dos masas hasta el infinito.

En los dos casos la energía potencial disminuye, aunque su valor absoluto aumente. Conviene no confundir una cosa con la otra.

$\textbf{b) Dos masas de 5 kg se encuentran en los puntos }\boldsymbol{A(0,2)}\textbf{ y }\boldsymbol{B(2,0)\ \text{m}}\textbf{. Determine razonadamente: i) el valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto }\boldsymbol{C(0,0)\ \text{m}}\textbf{; ii) el potencial gravitatorio en el mismo punto; iii) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de 3 kg desde }\boldsymbol{C}\textbf{ hasta el punto }\boldsymbol{D(2,2)\ \text{m}}\textbf{. Justifique el resultado obtenido. [1,5 puntos]}$










i) Las dos masas son iguales y están a la misma distancia del punto $C$:

$r_{AC} = 2\ \text{m} \qquad r_{BC} = 2\ \text{m}$

Cada una crea en $C$ un campo dirigido hacia ella, de módulo:

$g = G\frac{m}{r^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5}{2^2} = 8{,}34\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$





El campo creado por la masa de $A$ apunta en el sentido positivo del eje $Y$ y el creado por la de $B$, en el del eje $X$. Aplicando el principio de superposición:

$\vec g_C = 8{,}34\cdot10^{-11}\,\vec{\imath} + 8{,}34\cdot10^{-11}\,\vec{\jmath}\ \text{N/kg}$

Y como las dos componentes son iguales, el módulo es:

$|\vec g_C| = 8{,}34\cdot10^{-11}\cdot\sqrt2 = 1{,}18\cdot10^{-10}\ \text{N/kg}$

dirigido según la bisectriz del primer cuadrante.

ii) El potencial es una magnitud escalar y se suman directamente las dos contribuciones:

$V_C = -G\frac{m_A}{r_{AC}} - G\frac{m_B}{r_{BC}} = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac52 + \frac52\right)$

$V_C = -3{,}34\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

iii) Se calculan las distancias desde el punto $D(2,2)$ a las dos masas:

$r_{AD} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-2)^2} = 2\ \text{m} \qquad r_{BD} = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2\ \text{m}$

Son las mismas que desde $C$, de modo que el potencial también coincide:

$V_D = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac52 + \frac52\right) = -3{,}34\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

Y el trabajo de la fuerza gravitatoria es:

$W_{C\to D} = m\,(V_C - V_D) = 3\cdot 0 = 0\ \text{J}$

El trabajo es nulo. La razón está en la simetría del problema: $C$ y $D$ son los dos vértices libres del cuadrado que forman con $A$ y $B$, y equidistan de las dos masas. Pertenecen, por tanto, a la misma superficie equipotencial, y el campo gravitatorio, al ser conservativo, no realiza trabajo entre dos puntos del mismo potencial.