Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2023

a) Considere un núcleo de $^{28}\text{Si}$ y otro de $^{56}\text{Fe}$. La masa del núcleo de hierro es el doble que la del núcleo de silicio. Determine, de forma justificada, la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie en las siguientes situaciones: i) si el momento lineal o cantidad de movimiento es el mismo para los dos; ii) si los dos núcleos se mueven con la misma energía cinética. [1 punto]

b) Los neutrones que se emiten en un proceso de fisión nuclear tienen una energía cinética de $1{,}6\cdot10^{-13}\ \text{J}$. i) Determine razonadamente su longitud de onda de De Broglie y su velocidad. ii) Calcule la longitud de onda de De Broglie cuando la velocidad de los neutrones se reduce a la mitad. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_n = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Considere un núcleo de }\boldsymbol{^{28}\text{Si}}\textbf{ y otro de }\boldsymbol{^{56}\text{Fe}}\textbf{. La masa del núcleo de hierro es el doble que la del núcleo de silicio. Determine, de forma justificada, la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie en las siguientes situaciones: i) si el momento lineal o cantidad de movimiento es el mismo para los dos; ii) si los dos núcleos se mueven con la misma energía cinética. [1 punto]}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula en movimiento una onda de longitud:

$\lambda = \frac{h}{p}$

i) Si los dos núcleos tienen el mismo momento lineal, las dos longitudes de onda son iguales, porque $\lambda$ solo depende de $p$:

$\frac{\lambda_{\text{Si}}}{\lambda_{\text{Fe}}} = \frac{h/p}{h/p} = 1$

La masa no interviene: dos partículas con igual momento lineal tienen igual longitud de onda asociada, por distintas que sean.

ii) Si lo que comparten es la energía cinética, hay que expresar el momento lineal en función de ella:

$E_c = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2\,m\,E_c} \Rightarrow \lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Ahora la longitud de onda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa. Dividiendo y usando que $m_{\text{Fe}} = 2\,m_{\text{Si}}$:

$\frac{\lambda_{\text{Si}}}{\lambda_{\text{Fe}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{Fe}}}{m_{\text{Si}}}} = \sqrt{2} = 1{,}41$

Con la misma energía cinética, la longitud de onda del silicio es $\sqrt2$ veces mayor que la del hierro.

$\textbf{b) Los neutrones que se emiten en un proceso de fisión nuclear tienen una energía cinética de }\boldsymbol{1{,}6\cdot10^{-13}\ \text{J}}\textbf{. i) Determine razonadamente su longitud de onda de De Broglie y su velocidad. ii) Calcule la longitud de onda de De Broglie cuando la velocidad de los neutrones se reduce a la mitad. [1,5 puntos]}$

i) Se calcula primero el momento lineal a partir de la energía cinética:

$p = \sqrt{2\,m_n\,E_c} = \sqrt{2\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}6\cdot10^{-13}}$

$p = 2{,}31\cdot10^{-20}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$

Y con él, la longitud de onda de De Broglie:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{2{,}31\cdot10^{-20}} = 2{,}87\cdot10^{-14}\ \text{m}$

La velocidad se obtiene del propio momento lineal:

$v = \frac{p}{m_n} = \frac{2{,}31\cdot10^{-20}}{1{,}67\cdot10^{-27}} = 1{,}38\cdot10^{7}\ \text{m/s}$

ii) Si la velocidad se reduce a la mitad, el momento lineal también, y la longitud de onda, que es inversamente proporcional a él, se duplica:

$\lambda' = \frac{h}{m_n\,(v/2)} = 2\,\frac{h}{m_n\,v} = 2\,\lambda$

$\lambda' = 2\cdot2{,}87\cdot10^{-14} = 5{,}74\cdot10^{-14}\ \text{m}$

Los neutrones rápidos de la fisión tienen una longitud de onda asociada de $2{,}87\cdot10^{-14}\ \text{m}$, del orden del tamaño de un núcleo atómico, y al frenarlos hasta la mitad de su velocidad esa longitud de onda se duplica. Es exactamente lo que se persigue con los moderadores de un reactor: cuanto más lento es el neutrón, mayor es su onda asociada y más probable resulta que sea capturado por un núcleo de uranio.