Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2023

a) Un rayo de luz monocromática duplica su velocidad al pasar de un medio a otro. i) Represente la trayectoria de un rayo que incide con un ángulo no nulo respecto a la normal, y justifique si puede producirse el fenómeno de la reflexión total. ii) Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda en ambos medios. [1 punto]

b) Un rayo de luz de $8{,}22\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ se propaga por el interior de un líquido con una longitud de onda de $1{,}46\cdot10^{-7}\ \text{m}$. i) Calcule su longitud de onda en el aire. ii) Calcule la velocidad del rayo en el líquido y el índice de refracción del líquido. iii) Si el rayo se propaga por el líquido e incide en la superficie de separación con el aire con un ángulo de $10^\circ$ respecto a la normal, realice un esquema con la trayectoria de los rayos y calcule los ángulos de refracción y de reflexión. [1,5 puntos]

Datos: $n_{\text{aire}} = 1$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Un rayo de luz monocromática duplica su velocidad al pasar de un medio a otro. i) Represente la trayectoria de un rayo que incide con un ángulo no nulo respecto a la normal, y justifique si puede producirse el fenómeno de la reflexión total. ii) Determine razonadamente la relación entre las longitudes de onda en ambos medios. [1 punto]}$










i) El índice de refracción de un medio es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en ese medio:

$n = \frac{c}{v}$

Si la velocidad se duplica, el índice se reduce a la mitad:

$n_2 = \frac{c}{2v_1} = \frac{n_1}{2}$





El segundo medio es menos refringente. Aplicando la ley de Snell:

$n_1\,\operatorname{sen}\hat\imath = n_2\,\operatorname{sen}\hat r \Rightarrow \operatorname{sen}\hat r = 2\,\operatorname{sen}\hat\imath$

El ángulo de refracción es mayor que el de incidencia y el rayo se aleja de la normal. Precisamente por pasar a un medio menos refringente, sí puede producirse la reflexión total. El ángulo límite es el que hace que el rayo refractado salga rasante:

$\operatorname{sen}\hat\imath_L = \frac{n_2}{n_1} = \frac12 \Rightarrow \hat\imath_L = 30^\circ$

Para incidencias mayores de $30^\circ$ desaparece el rayo refractado y toda la luz vuelve al primer medio.

ii) La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, porque la fija el foco emisor. Como en cada medio se cumple $v = \lambda\,f$:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_2}{v_1} = 2 \Rightarrow \lambda_2 = 2\,\lambda_1$

La longitud de onda también se duplica: lo que se conserva al cambiar de medio es la frecuencia, no la longitud de onda.

$\textbf{b) Un rayo de luz de }\boldsymbol{8{,}22\cdot10^{14}\ \text{Hz}}\textbf{ se propaga por el interior de un líquido con una longitud de onda de }\boldsymbol{1{,}46\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{. i) Calcule su longitud de onda en el aire. ii) Calcule la velocidad del rayo en el líquido y el índice de refracción del líquido. iii) Si el rayo se propaga por el líquido e incide en la superficie de separación con el aire con un ángulo de }\boldsymbol{10^\circ}\textbf{ respecto a la normal, realice un esquema con la trayectoria de los rayos y calcule los ángulos de refracción y de reflexión. [1,5 puntos]}$

i) La frecuencia es la misma en los dos medios, así que la longitud de onda en el aire se obtiene directamente de la velocidad de la luz en el vacío:

$\lambda_{\text{aire}} = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot10^{8}}{8{,}22\cdot10^{14}} = 3{,}65\cdot10^{-7}\ \text{m}$

ii) En el líquido, la velocidad se obtiene de la longitud de onda y la frecuencia:

$v = \lambda\,f = 1{,}46\cdot10^{-7}\cdot8{,}22\cdot10^{14} = 1{,}20\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

Y con ella, el índice de refracción:

$n = \frac{c}{v} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}20\cdot10^{8}} = 2{,}50$










iii) El rayo va ahora del líquido al aire, es decir, hacia un medio menos refringente, de modo que se alejará de la normal. Antes de calcular nada conviene comprobar el ángulo límite:

$\operatorname{sen}\hat\imath_L = \frac{n_{\text{aire}}}{n} = \frac{1}{2{,}50} \Rightarrow \hat\imath_L = 23{,}6^\circ$





Como $10^\circ < 23{,}6^\circ$, no hay reflexión total y sí existe rayo refractado. Aplicando la ley de Snell:

$n\,\operatorname{sen}10^\circ = n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}\hat r$

$\operatorname{sen}\hat r = 2{,}50\cdot\operatorname{sen}10^\circ = 0{,}434$

$\hat r = 25{,}7^\circ$

El ángulo de reflexión es, por la ley de la reflexión, igual al de incidencia:

$\hat r' = \hat\imath = 10^\circ$

El rayo refractado sale al aire formando $25{,}7^\circ$ con la normal, más abierto que el incidente, y una parte de la luz vuelve al líquido formando $10^\circ$ con la normal, al otro lado de ella.