Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

a) i) Escriba la expresión del potencial gravitatorio creado por una masa puntual $M$, indicando las magnitudes que aparecen en la misma. ii) Razone el signo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando una masa $m$, inicialmente en reposo en las proximidades de $M$, se desplaza por acción del campo gravitatorio. [1 punto]

b) Recientemente la NASA envió la nave ORION-Artemis a las proximidades de la Luna. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es $3{,}84\cdot10^{5}\ \text{km}$: i) calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la nave es cero; ii) determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de 5000 kg. [1,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) i) Escriba la expresión del potencial gravitatorio creado por una masa puntual }\boldsymbol{M}\textbf{, indicando las magnitudes que aparecen en la misma. ii) Razone el signo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando una masa }\boldsymbol{m}\textbf{, inicialmente en reposo en las proximidades de }\boldsymbol{M}\textbf{, se desplaza por acción del campo gravitatorio. [1 punto]}$

i) El potencial gravitatorio creado por una masa puntual $M$ en un punto situado a una distancia $r$ de ella es:

$V = -G\frac{M}{r}$

donde $G$ es la constante de gravitación universal, cuyo valor es $6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M$ es la masa que crea el campo, en kilogramos, y $r$ la distancia desde ella hasta el punto considerado, en metros. El potencial se mide en $\text{J}\,\text{kg}^{-1}$ y representa la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto. El signo negativo procede de tomar el origen de potenciales en el infinito y de que la fuerza gravitatoria es siempre atractiva.

ii) Si la masa $m$ parte del reposo y se desplaza únicamente por acción del campo, se moverá acercándose a $M$, que es hacia donde apunta la fuerza gravitatoria. El trabajo de esa fuerza es entonces positivo, porque fuerza y desplazamiento tienen el mismo sentido.

Se llega a lo mismo por energías. El trabajo de la fuerza gravitatoria es igual a la disminución de la energía potencial:

$W = -\Delta E_p = E_p(\text{inicial}) - E_p(\text{final})$

Al acercarse, $r$ disminuye y $E_p = -G\,M\,m/r$ se hace más negativa, de modo que la energía potencial disminuye y el trabajo resulta positivo. Ese trabajo es el que se invierte en aumentar la energía cinética de la masa, que partía del reposo.

$\textbf{b) Recientemente la NASA envió la nave ORION-Artemis a las proximidades de la Luna. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es }\boldsymbol{3{,}84\cdot10^{5}\ \text{km}}\textbf{: i) calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la nave es cero; ii) determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de 5000 kg. [1,5 puntos]}$










i) En un punto $P$ situado entre los dos astros, la Tierra atrae a la nave hacia la izquierda y la Luna hacia la derecha. Las dos fuerzas son opuestas y pueden cancelarse. Llamando $x$ a la distancia de $P$ al centro de la Tierra:

$G\frac{M_T\,m}{x^2} = G\frac{M_L\,m}{(d - x)^2}$





Se simplifica la masa de la nave y se sustituye $M_T = 81\,M_L$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} \Rightarrow \frac{d - x}{x} = \frac{1}{9}$

$9\,d - 9\,x = x \Rightarrow x = \frac{9\,d}{10} = 0{,}9\,d$

Se expresa la distancia en unidades del Sistema Internacional:

$d = 3{,}84\cdot10^{5}\ \text{km} = 3{,}84\cdot10^{8}\ \text{m}$

$x = 0{,}9\cdot3{,}84\cdot10^{8} = 3{,}456\cdot10^{8}\ \text{m}$

$d - x = 3{,}84\cdot10^{7}\ \text{m}$

El punto de fuerza nula está a $3{,}456\cdot10^{8}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, es decir, al 90 % del camino: mucho más cerca de la Luna, que es la menos masiva.

ii) La energía potencial de la nave es la suma de las debidas a cada astro, ya que es una magnitud escalar. Se necesita la masa de la Luna:

$M_L = \frac{M_T}{81} = \frac{5{,}98\cdot10^{24}}{81} = 7{,}38\cdot10^{22}\ \text{kg}$

$E_p = -G\frac{M_T\,m}{x} - G\frac{M_L\,m}{d - x}$

$E_p = -6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5000\left(\frac{5{,}98\cdot10^{24}}{3{,}456\cdot10^{8}} + \frac{7{,}38\cdot10^{22}}{3{,}84\cdot10^{7}}\right)$

$E_p = -5{,}77\cdot10^{9} - 6{,}41\cdot10^{8} = -6{,}41\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía potencial de la nave en ese punto es $-6{,}41\cdot10^{9}\ \text{J}$. Obsérvese que, aunque la fuerza total sea nula, la energía potencial no lo es: el campo se anula porque las dos fuerzas son vectores opuestos, mientras que las dos energías potenciales son negativas y se suman.