Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

a) Un satélite de masa $m$ orbita a una altura $h$ sobre un planeta de masa $M$ y radio $R$. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite y exprese el resultado en función de $M$, $R$ y $h$. ii) ¿Cómo cambia su velocidad si la masa del planeta se duplica? ¿Y si se duplica la masa del satélite? [1 punto]

b) Un cuerpo de 5 kg desciende con velocidad constante desde una altura de 15 m por un plano inclinado con rozamiento que forma $30^\circ$ con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de 20 N paralela al plano y dirigida en sentido ascendente. i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. ii) Determine razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas hasta que el cuerpo llega al final del plano. [1,5 puntos]

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$.

$\textbf{a) Un satélite de masa }\boldsymbol{m}\textbf{ orbita a una altura }\boldsymbol{h}\textbf{ sobre un planeta de masa }\boldsymbol{M}\textbf{ y radio }\boldsymbol{R}\textbf{. i) Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite y exprese el resultado en función de }\boldsymbol{M}\textbf{, }\boldsymbol{R}\textbf{ y }\boldsymbol{h}\textbf{. ii) ¿Cómo cambia su velocidad si la masa del planeta se duplica? ¿Y si se duplica la masa del satélite? [1 punto]}$










i) La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como describe una órbita circular uniforme, esa fuerza es la centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$F_g = m\,a_c \Rightarrow G\frac{M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}$





Simplificando la masa del satélite y despejando la velocidad:

$v^2 = \frac{G\,M}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$

La distancia que interviene es la que separa al satélite del centro del planeta, no la altura sobre su superficie:

$r = R + h \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G\,M}{R + h}}$

ii) La velocidad orbital depende de la raíz cuadrada de la masa del planeta. Si esta se duplica:

$v' = \sqrt{\frac{G\,(2M)}{R+h}} = \sqrt{2}\,v = 1{,}41\,v$

La velocidad se multiplica por $\sqrt2$.

Si lo que se duplica es la masa del satélite, la velocidad no cambia, porque $m$ se simplifica en el planteamiento y no aparece en la expresión final. Es el mismo motivo por el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración.

$\textbf{b) Un cuerpo de 5 kg desciende con velocidad constante desde una altura de 15 m por un plano inclinado con rozamiento que forma }\boldsymbol{30^\circ}\textbf{ con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúa una fuerza de 20 N paralela al plano y dirigida en sentido ascendente. i) Realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. ii) Determine razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas hasta que el cuerpo llega al final del plano. [1,5 puntos]}$










i) Sobre el cuerpo actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec P$, la normal $\vec N$, la fuerza aplicada $\vec F$ de 20 N y el rozamiento $\vec F_r$.

El cuerpo baja, de modo que el rozamiento se opone al movimiento y apunta hacia arriba del plano, igual que la fuerza aplicada.





ii) Primero se calcula la longitud recorrida a lo largo del plano a partir de la altura y del ángulo:

$\operatorname{sen}30^\circ = \frac{h}{L} \Rightarrow L = \frac{15}{\operatorname{sen}30^\circ} = 30\ \text{m}$

El trabajo del peso solo depende del desnivel salvado, y es positivo porque el cuerpo desciende:

$W_P = m\,g\,h = 5\cdot9{,}8\cdot15 = 735\ \text{J}$

La normal es perpendicular al desplazamiento en todo momento:

$W_N = 0\ \text{J}$

La fuerza aplicada va hacia arriba del plano y el desplazamiento hacia abajo, así que forman $180^\circ$:

$W_F = F\,L\,\cos 180^\circ = -20\cdot30 = -600\ \text{J}$

Para el rozamiento se usa que la velocidad es constante: la energía cinética no varía y, por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total ha de ser nulo:

$W_P + W_N + W_F + W_r = \Delta E_c = 0$

$W_r = -(735 + 0 - 600) = -135\ \text{J}$

El peso realiza un trabajo de 735 J, la normal ninguno, la fuerza aplicada $-600\ \text{J}$ y el rozamiento $-135\ \text{J}$. La suma es cero, como corresponde a un descenso a velocidad constante. De paso, el módulo de la fuerza de rozamiento resulta ser $135/30 = 4{,}5\ \text{N}$.