Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2024

a) Explique razonadamente el concepto de defecto de masa, su expresión matemática y su relación con la estabilidad de un núcleo atómico. [1 punto]

b) i) Calcule la energía de enlace por nucleón para los nucleidos $^{3}_{1}\text{H}$ y $^{3}_{2}\text{He}$. ii) Indique razonadamente cuál de ellos es más estable. [1,5 puntos]

Datos: $m(^{3}_{1}\text{H}) = 3{,}016049\ \text{u}$; $m(^{3}_{2}\text{He}) = 3{,}016029\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$; $m_p = 1{,}007276\ \text{u}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Explique razonadamente el concepto de defecto de masa, su expresión matemática y su relación con la estabilidad de un núcleo atómico. [1 punto]}$

Se llama defecto de masa a la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones por separado y la masa real del núcleo que forman. Experimentalmente se comprueba que el núcleo pesa menos que sus componentes aislados:

$\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m_{\text{núcleo}}$

donde $Z$ es el número de protones, $A - Z$ el de neutrones y $A$ el número másico.

Esa masa que falta no ha desaparecido: se ha transformado en energía al formarse el núcleo, según la equivalencia entre masa y energía de Einstein. La energía correspondiente es la energía de enlace, y es la que habría que aportar para desmontar el núcleo en sus nucleones:

$E_e = \Delta m\,c^2$

La estabilidad no se mide con la energía de enlace total, sino con la energía de enlace por nucleón:

$\frac{E_e}{A}$

Cuanto mayor es esa energía por nucleón, más fuertemente ligado está cada nucleón y más estable es el núcleo. Esta magnitud crece rápidamente para los núcleos ligeros, alcanza un máximo en torno al hierro y decrece lentamente para los núcleos pesados, que es la razón por la que liberan energía tanto la fusión de núcleos ligeros como la fisión de núcleos pesados.

$\textbf{b) i) Calcule la energía de enlace por nucleón para los nucleidos }\boldsymbol{^{3}_{1}\text{H}}\textbf{ y }\boldsymbol{^{3}_{2}\text{He}}\textbf{. ii) Indique razonadamente cuál de ellos es más estable. [1,5 puntos]}$

i) Los dos nucleidos tienen $A = 3$, pero distinta composición: el tritio tiene 1 protón y 2 neutrones, y el helio-3, 2 protones y 1 neutrón.

Para el tritio $^{3}_{1}\text{H}$, el defecto de masa es:

$\Delta m = 1\cdot1{,}007276 + 2\cdot1{,}008665 - 3{,}016049 = 8{,}557\cdot10^{-3}\ \text{u}$

Se pasa a kilogramos y se aplica la equivalencia masa-energía:

$E_e = \Delta m\,c^2 = 8{,}557\cdot10^{-3}\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E_e = 1{,}28\cdot10^{-12}\ \text{J}$

$\frac{E_e}{A} = \frac{1{,}28\cdot10^{-12}}{3} = 4{,}26\cdot10^{-13}\ \text{J/nucleón}$

Para el helio-3 $^{3}_{2}\text{He}$:

$\Delta m = 2\cdot1{,}007276 + 1\cdot1{,}008665 - 3{,}016029 = 7{,}188\cdot10^{-3}\ \text{u}$

$E_e = 7{,}188\cdot10^{-3}\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 1{,}07\cdot10^{-12}\ \text{J}$

$\frac{E_e}{A} = \frac{1{,}07\cdot10^{-12}}{3} = 3{,}58\cdot10^{-13}\ \text{J/nucleón}$

ii) Como los dos núcleos tienen el mismo número de nucleones, la comparación es directa:

$\frac{E_e}{A}\Big|_{^{3}\text{H}} = 4{,}26\cdot10^{-13} > \frac{E_e}{A}\Big|_{^{3}\text{He}} = 3{,}58\cdot10^{-13}\ \text{J/nucleón}$

El tritio es el más estable de los dos, porque sus nucleones están más fuertemente ligados. Es coherente con su composición: el helio-3 tiene dos protones que se repelen eléctricamente, mientras que el tritio solo tiene uno.