Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2024

a) Razone si las siguientes afirmaciones son correctas: i) La energía de los fotoelectrones emitidos por un metal irradiado es la misma que la de los fotones absorbidos por dicho metal. ii) Si se irradia un metal con luz blanca, produciéndose el efecto fotoeléctrico en todo el rango de frecuencias de dicha luz, la mayor energía cinética corresponderá a los fotoelectrones emitidos por las componentes espectrales de la región del rojo. [1 punto]

b) Al iluminar un metal con luz de frecuencia $2{,}5\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ se emiten electrones cuyo potencial de frenado es de 7,20 V. A continuación, se ilumina con otra luz de longitud de onda $1{,}8\cdot10^{-7}\ \text{m}$ y el potencial disminuye a 3,75 V. Determine razonadamente: i) el valor de la constante de Planck; ii) el trabajo de extracción del metal. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Razone si las siguientes afirmaciones son correctas: i) La energía de los fotoelectrones emitidos por un metal irradiado es la misma que la de los fotones absorbidos por dicho metal. ii) Si se irradia un metal con luz blanca, produciéndose el efecto fotoeléctrico en todo el rango de frecuencias de dicha luz, la mayor energía cinética corresponderá a los fotoelectrones emitidos por las componentes espectrales de la región del rojo. [1 punto]}$

Ambas afirmaciones se discuten con la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, que no es más que un balance de energía:

$h\,f = W_{\text{ext}} + E_{c,\max}$

i) La afirmación es incorrecta. El fotón cede toda su energía al electrón, pero este ha de invertir una parte, el trabajo de extracción, en escapar del metal. Solo el sobrante aparece como energía cinética:

$E_{c,\max} = h\,f - W_{\text{ext}} < h\,f$

La energía de los fotoelectrones es siempre menor que la de los fotones absorbidos, y la diferencia es justamente la característica del metal.

ii) La afirmación también es incorrecta. Dentro del espectro visible, el rojo es el extremo de menor frecuencia y el violeta el de mayor. Como el trabajo de extracción es el mismo para todas las componentes, por ser una propiedad del metal, la energía cinética máxima crece con la frecuencia:

$E_{c,\max} = h\,f - W_{\text{ext}}$

Los fotoelectrones más energéticos son, por tanto, los arrancados por las componentes violetas, no por las rojas.

$\textbf{b) Al iluminar un metal con luz de frecuencia }\boldsymbol{2{,}5\cdot10^{15}\ \text{Hz}}\textbf{ se emiten electrones cuyo potencial de frenado es de 7,20 V. A continuación, se ilumina con otra luz de longitud de onda }\boldsymbol{1{,}8\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{ y el potencial disminuye a 3,75 V. Determine razonadamente: i) el valor de la constante de Planck; ii) el trabajo de extracción del metal. [1,5 puntos]}$










El potencial de frenado es la diferencia de potencial que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, de modo que mide directamente su energía cinética máxima:

$E_{c,\max} = e\,V_f$

Sustituyendo en la ecuación de Einstein:

$h\,f = W_{\text{ext}} + e\,V_f$





i) Se aplica esa expresión a las dos iluminaciones. La frecuencia de la segunda luz se obtiene de su longitud de onda:

$f_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3\cdot10^{8}}{1{,}8\cdot10^{-7}} = 1{,}67\cdot10^{15}\ \text{Hz}$

Las dos ecuaciones son:

$h\,f_1 = W_{\text{ext}} + e\,V_1 \qquad h\,f_2 = W_{\text{ext}} + e\,V_2$

El trabajo de extracción es el mismo en las dos, porque es una propiedad del metal. Restando miembro a miembro se elimina:

$h\,(f_1 - f_2) = e\,(V_1 - V_2)$

$h = \frac{e\,(V_1 - V_2)}{f_1 - f_2} = \frac{1{,}6\cdot10^{-19}\,(7{,}20 - 3{,}75)}{2{,}5\cdot10^{15} - 1{,}67\cdot10^{15}}$

$h = 6{,}62\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$

ii) Con la constante de Planck ya conocida, se despeja el trabajo de extracción de cualquiera de las dos ecuaciones:

$W_{\text{ext}} = h\,f_1 - e\,V_1 = 6{,}62\cdot10^{-34}\cdot2{,}5\cdot10^{15} - 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot7{,}20$

$W_{\text{ext}} = 1{,}656\cdot10^{-18} - 1{,}152\cdot10^{-18} = 5{,}04\cdot10^{-19}\ \text{J}$

El trabajo de extracción del metal es $5{,}04\cdot10^{-19}\ \text{J}$, equivalente a 3,15 eV. El valor obtenido para la constante de Planck coincide con el aceptado, $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$: la medida del potencial de frenado a dos frecuencias distintas es precisamente el procedimiento experimental con el que se determina.