Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2024

a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales, proporcionando un ejemplo representativo de cada tipo. [1 punto]

b) Considere un oleaje que se propaga en el sentido positivo del eje $OX$. Una boya, situada en $x = 10\ \text{m}$, describe una oscilación armónica vertical con una amplitud de 0,4 m y un periodo de 2 segundos. La velocidad de propagación de las olas en la superficie del mar es de $0{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de las olas; ii) la ecuación de onda, asumiendo que, en el instante inicial $t = 0\ \text{s}$, la altura de la boya es máxima; iii) la velocidad máxima de oscilación de la boya. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales, proporcionando un ejemplo representativo de cada tipo. [1 punto]}$

La diferencia entre ambos tipos está en la orientación relativa de dos direcciones: la de vibración de las partículas del medio y la de propagación de la perturbación.

En una onda longitudinal las partículas del medio vibran en la misma dirección en la que se propaga la onda. La perturbación consiste entonces en zonas alternas de compresión y de enrarecimiento del medio. El ejemplo característico es el sonido en el aire, y también las ondas que recorren un muelle cuando se comprime y se suelta por un extremo.

En una onda transversal las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación. El ejemplo característico es la onda que recorre una cuerda tensa cuando se sacude uno de sus extremos, y también las ondas en la superficie del agua.

Hay dos consecuencias que conviene señalar. La primera es que las ondas longitudinales se propagan por sólidos, líquidos y gases, mientras que las transversales mecánicas necesitan un medio con rigidez y no se propagan por el interior de los fluidos. La segunda es que solo las ondas transversales pueden polarizarse, porque solo en ellas tiene sentido distinguir unas direcciones de vibración de otras dentro del plano perpendicular a la propagación.

$\textbf{b) Considere un oleaje que se propaga en el sentido positivo del eje }\boldsymbol{OX}\textbf{. Una boya, situada en }\boldsymbol{x = 10\ \text{m}}\textbf{, describe una oscilación armónica vertical con una amplitud de 0,4 m y un periodo de 2 segundos. La velocidad de propagación de las olas en la superficie del mar es de }\boldsymbol{0{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de las olas; ii) la ecuación de onda, asumiendo que, en el instante inicial }\boldsymbol{t = 0\ \text{s}}\textbf{, la altura de la boya es máxima; iii) la velocidad máxima de oscilación de la boya. [1,5 puntos]}$

i) La longitud de onda es la distancia que recorre la perturbación en un periodo:

$\lambda = v\,T = 0{,}5\cdot2 = 1\ \text{m}$

ii) Se calculan primero la frecuencia angular y el número de onda:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad/s}$

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi\ \text{rad/m}$

Como la onda se propaga en el sentido positivo del eje $OX$, los términos en $t$ y en $x$ llevan signos opuestos. Se elige la forma con coseno, que es la que describe directamente un máximo en el instante inicial:

$y(x,t) = A\,\cos(\omega t - k x + \varphi_0)$

La condición del enunciado es que en $t = 0$ la boya, situada en $x = 10\ \text{m}$, esté en su altura máxima:

$y(10,0) = A \Rightarrow \cos(-2\pi\cdot10 + \varphi_0) = 1$

$\cos(\varphi_0 - 20\pi) = \cos\varphi_0 = 1 \Rightarrow \varphi_0 = 0\ \text{rad}$

Se ha usado que $20\pi$ es un número entero de vueltas y no altera el coseno. La ecuación de onda queda:

$y(x,t) = 0{,}4\,\cos(\pi t - 2\pi x)$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

iii) La velocidad de oscilación se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\,\omega\,\operatorname{sen}(\pi t - 2\pi x)$

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}4\cdot\pi = 1{,}26\ \text{m/s}$

La boya sube y baja con una velocidad que como mucho llega a $1{,}26\ \text{m/s}$, más del doble de la velocidad con la que avanzan las olas. Son magnitudes independientes: la boya no viaja con la ola, solo oscila en vertical a su paso.