Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Andalucía · 2024

a) Un electrón que se mueve en línea recta penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí. Explique la relación que debe existir entre los campos y la velocidad para que la partícula continúe en trayectoria rectilínea. [1 punto]

b) Por dos conductores rectilíneos muy largos, paralelos y separados por una distancia de 2 m circulan corrientes eléctricas de 1 y 3 A. Determine, apoyándose de un esquema, a qué distancia del primer hilo se anula el campo magnético en los siguientes casos: i) las dos corrientes van en el mismo sentido; ii) las corrientes van en sentidos opuestos. [1,5 puntos]

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) Un electrón que se mueve en línea recta penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares entre sí. Explique la relación que debe existir entre los campos y la velocidad para que la partícula continúe en trayectoria rectilínea. [1 punto]}$










Sobre una carga que se mueve en presencia de los dos campos actúa la fuerza de Lorentz:

$\vec F = q\,\vec E + q\,(\vec v\times\vec B)$

Para que la trayectoria siga siendo rectilínea y uniforme, la fuerza total tiene que ser nula, de manera que la fuerza eléctrica y la magnética han de tener el mismo módulo y sentidos opuestos.





Esto obliga a que las tres direcciones sean perpendiculares dos a dos: la velocidad, el campo eléctrico y el campo magnético. Con $\vec v$ perpendicular a $\vec B$, el módulo de la fuerza magnética es $|q|\,v\,B$, y la condición de equilibrio queda:

$|q|\,E = |q|\,v\,B$

$v = \frac{E}{B}$

Solo las partículas cuya velocidad valga exactamente $E/B$ atraviesan la región sin desviarse; las demás se desvían hacia un lado o hacia el otro. Este montaje es el selector de velocidades. Obsérvese que la condición no depende del signo ni del valor de la carga: para el electrón las dos fuerzas cambian de sentido a la vez y se siguen compensando.

$\textbf{b) Por dos conductores rectilíneos muy largos, paralelos y separados por una distancia de 2 m circulan corrientes eléctricas de 1 y 3 A. Determine, apoyándose de un esquema, a qué distancia del primer hilo se anula el campo magnético en los siguientes casos: i) las dos corrientes van en el mismo sentido; ii) las corrientes van en sentidos opuestos. [1,5 puntos]}$

El módulo del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $r$ viene dado por la ley de Biot-Savart:

$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$

y su sentido lo da la regla de la mano derecha: las líneas de campo son circunferencias que rodean al hilo.










i) Con las dos corrientes en el mismo sentido, en un punto situado entre los hilos el campo del primero entra en el papel y el del segundo sale de él. Son opuestos y pueden cancelarse. Llamando $x$ a la distancia al primer hilo:

$\frac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,x} = \frac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,(d - x)}$





Simplificando y sustituyendo los datos:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{2 - x}$

$2 - x = 3x \Rightarrow x = 0{,}5\ \text{m}$

El campo se anula a 0,5 m del primer hilo, es decir, entre los dos conductores y más cerca del que lleva menos intensidad.










ii) Con las corrientes en sentidos opuestos, entre los hilos los dos campos tienen el mismo sentido y no pueden anularse. El punto buscado ha de estar fuera, y del lado del hilo de menor intensidad, que es el único sitio donde el campo más débil puede compensar al más fuerte por estar mucho más cerca.





Llamando ahora $x$ a la distancia al primer hilo, medida hacia el exterior, la distancia al segundo es $x + d$:

$\frac{I_1}{x} = \frac{I_2}{x + d}$

$\frac{1}{x} = \frac{3}{x + 2}$

$x + 2 = 3x \Rightarrow x = 1\ \text{m}$

El campo se anula a 1 m del primer hilo, por la parte exterior, al otro lado del segundo conductor.