Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2024

a) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: i) En una espira circular de radio $R$, situada con su plano perpendicular a un campo magnético de módulo $B(t) = a\,t + b$, siendo $a$ y $b$ constantes y $t$ el tiempo, se induce una fuerza electromotriz constante. ii) Cuando se sitúa una espira en reposo en el seno de un campo magnético variable con el tiempo, siempre se induce una fuerza electromotriz. [1 punto]

b) Una espira circular de 20 cm de radio está situada en el plano $XY$ en una región en la que hay un campo magnético variable en el tiempo $B(t) = 3\,t^2 - 2\,t$ (S. I.) en sentido negativo del eje $OZ$. i) Obtenga la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule la fuerza electromotriz inducida para $t = 2\ \text{s}$. iii) Razone el sentido de la corriente inducida en la espira. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Razone la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: i) En una espira circular de radio }\boldsymbol{R}\textbf{, situada con su plano perpendicular a un campo magnético de módulo }\boldsymbol{B(t) = a\,t + b}\textbf{, siendo }\boldsymbol{a}\textbf{ y }\boldsymbol{b}\textbf{ constantes y }\boldsymbol{t}\textbf{ el tiempo, se induce una fuerza electromotriz constante. ii) Cuando se sitúa una espira en reposo en el seno de un campo magnético variable con el tiempo, siempre se induce una fuerza electromotriz. [1 punto]}$

Las dos afirmaciones se analizan con la ley de Faraday-Lenz y con la definición de flujo magnético:

$\Phi = B\,S\,\cos\alpha \qquad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

i) La afirmación es verdadera. Si el plano de la espira es perpendicular al campo, el vector superficie es paralelo a él y $\cos\alpha = 1$:

$\Phi(t) = (a\,t + b)\,\pi R^2$

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -a\,\pi R^2$

Al ser $a$ y $R$ constantes, la fuerza electromotriz inducida no depende del tiempo: es constante. Un campo que crece linealmente con el tiempo produce una fuerza electromotriz constante.

ii) La afirmación es falsa. Para que se induzca fuerza electromotriz no basta con que el campo varíe: lo que tiene que variar es el flujo. Si el campo es paralelo al plano de la espira, entonces $\cos\alpha = 0$ y:

$\Phi = 0 \text{ en todo instante} \Rightarrow \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$

Por muy deprisa que cambie el campo, ninguna línea atraviesa la espira y no se induce nada.

$\textbf{b) Una espira circular de 20 cm de radio está situada en el plano }\boldsymbol{XY}\textbf{ en una región en la que hay un campo magnético variable en el tiempo }\boldsymbol{B(t) = 3\,t^2 - 2\,t}\textbf{ (S. I.) en sentido negativo del eje }\boldsymbol{OZ}\textbf{. i) Obtenga la expresión del flujo magnético en función del tiempo. ii) Calcule la fuerza electromotriz inducida para }\boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{. iii) Razone el sentido de la corriente inducida en la espira. [1,5 puntos]}$

i) Se toma como vector superficie de la espira el del sentido positivo del eje $OZ$. Como el campo va en sentido negativo de ese eje, forma $180^\circ$ con la superficie y el flujo resulta negativo:

$R = 20\ \text{cm} = 0{,}20\ \text{m}$

$S = \pi R^2 = \pi\,(0{,}20)^2 = 0{,}126\ \text{m}^2$

$\Phi(t) = B(t)\,S\,\cos 180^\circ = -0{,}126\,(3t^2 - 2t)\ \text{Wb}$

ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0{,}126\,(6t - 2)$

$\varepsilon(2) = 0{,}126\,(6\cdot2 - 2) = 1{,}26\ \text{V}$










iii) En el instante $t = 2\ \text{s}$ el campo vale:

$B(2) = 3\cdot2^2 - 2\cdot2 = 8\ \text{T}$

y está creciendo, porque su derivada $6t - 2$ es positiva. El campo entra en el plano del papel y cada vez es más intenso.





Por la ley de Lenz, la corriente inducida se opone a esa variación, de modo que debe crear dentro de la espira un campo magnético saliente, en el sentido positivo del eje $OZ$. Aplicando la regla de la mano derecha, la corriente inducida circula en sentido antihorario visto desde el semieje $OZ$ positivo.