Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

a) Nuestra galaxia vecina, Andrómeda, tiene una masa de 1,5 veces la masa de la Vía Láctea. A escala galáctica, ambas se pueden considerar como dos masas puntuales. i) Justifique razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determine la relación entre las distancias de ese punto a cada galaxia. ii) ¿Se anula el potencial gravitatorio en algún punto entre ambas galaxias? Justifique su respuesta. [1 punto]

b) Se sitúa una masa puntual de 3 kg en el punto $A(0,-2)\ \text{m}$ y otra de 2 kg en el punto $B(3,0)\ \text{m}$. Calcule: i) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas. [1,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Nuestra galaxia vecina, Andrómeda, tiene una masa de 1,5 veces la masa de la Vía Láctea. A escala galáctica, ambas se pueden considerar como dos masas puntuales. i) Justifique razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determine la relación entre las distancias de ese punto a cada galaxia. ii) ¿Se anula el potencial gravitatorio en algún punto entre ambas galaxias? Justifique su respuesta. [1 punto]}$










i) El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre hacia esa masa. En un punto $P$ situado entre las dos galaxias, el campo de la Vía Láctea apunta hacia la izquierda y el de Andrómeda hacia la derecha: son opuestos y, por tanto, pueden llegar a cancelarse.





Llamando $M$ a la masa de la Vía Láctea, $d_1$ a la distancia de $P$ a la Vía Láctea y $d_2$ a la distancia de $P$ a Andrómeda, la condición de campo nulo es que los dos módulos coincidan:

$G\frac{M}{d_1^2} = G\frac{1{,}5\,M}{d_2^2}$

$\frac{d_2^2}{d_1^2} = 1{,}5 \Rightarrow \frac{d_2}{d_1} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}22$

Sí existe ese punto, y está más cerca de la Vía Láctea que de Andrómeda: la distancia a Andrómeda es 1,22 veces la distancia a la Vía Láctea, porque hay que alejarse más de la galaxia más masiva para que su campo se debilite lo suficiente.

ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar y, con el origen de potenciales en el infinito, es siempre negativo:

$V = -G\frac{M}{d_1} - G\frac{1{,}5\,M}{d_2}$

Los dos sumandos son negativos, de modo que su suma no puede anularse en ningún punto a distancia finita de las galaxias. El potencial solo tiende a cero en el infinito. El campo se anula porque es un vector y sus dos contribuciones tienen sentidos opuestos; el potencial, al ser escalar, no puede compensarse.

$\textbf{b) Se sitúa una masa puntual de 3 kg en el punto }\boldsymbol{A(0,-2)\ \text{m}}\textbf{ y otra de 2 kg en el punto }\boldsymbol{B(3,0)\ \text{m}}\textbf{. Calcule: i) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas. [1,5 puntos]}$










i) Cada masa crea en el origen $O(0,0)$ un campo dirigido hacia ella, de módulo:

$g = G\frac{m}{r^2}$

Las distancias al origen son inmediatas:

$r_A = 2\ \text{m} \qquad r_B = 3\ \text{m}$





Campo creado por la masa de $A$, dirigido hacia $A$, es decir, en el sentido negativo del eje $Y$:

$g_A = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{3}{2^2} = 5{,}00\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

$\vec g_A = -5{,}00\cdot10^{-11}\,\vec{\jmath}\ \text{N/kg}$

Campo creado por la masa de $B$, dirigido hacia $B$, es decir, en el sentido positivo del eje $X$:

$g_B = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{2}{3^2} = 1{,}48\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

$\vec g_B = 1{,}48\cdot10^{-11}\,\vec{\imath}\ \text{N/kg}$

Por el principio de superposición:

$\vec g = \vec g_A + \vec g_B = \left(1{,}48\,\vec{\imath} - 5{,}00\,\vec{\jmath}\right)\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

Y su módulo:

$|\vec g| = \sqrt{(1{,}48)^2 + (5{,}00)^2}\cdot10^{-11} = 5{,}22\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$

ii) El potencial es una magnitud escalar y se suman directamente los valores creados por cada masa:

$V = -G\frac{m_A}{r_A} - G\frac{m_B}{r_B} = -6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{3}{2} + \frac{2}{3}\right)$

$V = -1{,}45\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$

El campo gravitatorio en el origen vale $5{,}22\cdot10^{-11}\ \text{N/kg}$ y apunta hacia el tercer cuadrante, y el potencial, $-1{,}45\cdot10^{-10}\ \text{J/kg}$. Obsérvese que para el campo hay que sumar vectores y para el potencial basta con sumar números.