Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Andalucía · 2024

a) Dos partículas tienen la misma energía cinética. Deduzca de manera razonada la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie si la masa de la primera es un tercio de la masa de la segunda. [1 punto]

b) Un protón se mueve con una velocidad de $3{,}8\cdot10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie asociada de dicho protón; ii) la energía cinética de un electrón que tuviera igual momento lineal que el protón; iii) la velocidad del electrón. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Dos partículas tienen la misma energía cinética. Deduzca de manera razonada la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie si la masa de la primera es un tercio de la masa de la segunda. [1 punto]}$

Según la hipótesis de De Broglie, a toda partícula en movimiento le corresponde una onda asociada de longitud de onda:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}$

Conviene expresar el momento lineal en función de la energía cinética, que es el dato que comparten las dos partículas:

$E_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac{p^2}{2m} \Rightarrow p = \sqrt{2\,m\,E_c}$

Sustituyendo:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$

Con la misma energía cinética, la longitud de onda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa. Dividiendo las expresiones de las dos partículas:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Y como $m_1 = m_2/3$:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{3} = 1{,}73$

La longitud de onda de la partícula menos masiva es $\sqrt3$ veces mayor que la de la otra.

$\textbf{b) Un protón se mueve con una velocidad de }\boldsymbol{3{,}8\cdot10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}}\textbf{. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie asociada de dicho protón; ii) la energía cinética de un electrón que tuviera igual momento lineal que el protón; iii) la velocidad del electrón. [1,5 puntos]}$

i) Se calcula primero el momento lineal del protón:

$p = m_p\,v = 1{,}67\cdot10^{-27}\cdot3{,}8\cdot10^{3} = 6{,}35\cdot10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$

Y con él, la longitud de onda de De Broglie:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{6{,}35\cdot10^{-24}} = 1{,}04\cdot10^{-10}\ \text{m}$

ii) El electrón tiene el mismo momento lineal que el protón, de modo que su energía cinética es:

$E_c = \frac{p^2}{2\,m_e} = \frac{(6{,}35\cdot10^{-24})^2}{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}$

$E_c = 2{,}21\cdot10^{-17}\ \text{J}$

iii) La velocidad del electrón se obtiene directamente de su momento lineal:

$v_e = \frac{p}{m_e} = \frac{6{,}35\cdot10^{-24}}{9{,}1\cdot10^{-31}} = 6{,}97\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

Con el mismo momento lineal, los dos tienen la misma longitud de onda asociada, $1{,}04\cdot10^{-10}\ \text{m}$, comparable al tamaño de un átomo. El electrón, sin embargo, se mueve unas 1800 veces más deprisa que el protón y tiene una energía cinética muchísimo mayor, precisamente porque su masa es 1800 veces menor.