Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Andalucía · 2024

a) Justifique, indicando los principios que aplica, cuál de las reacciones nucleares propuestas no produce los productos mencionados: [1 punto]

i) $^{14}_{7}\text{N} + n \longrightarrow\ ^{14}_{6}\text{C} + p$

ii) $^{28}_{14}\text{Si} + \alpha \longrightarrow\ ^{29}_{15}\text{P} + n$

b) i) Determine, indicando los principios aplicados, los valores de $c$ y $Z$ en la siguiente reacción nuclear: [1,5 puntos]

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}n \longrightarrow\ ^{145}_{Z}\text{La} + ^{88}_{35}\text{Br} + c\ ^{1}_{0}n$

ii) Calcule la energía liberada cuando se fisionan un millón de núcleos de uranio siguiendo la reacción anterior.

Datos: $m(^{235}_{92}\text{U}) = 235{,}043930\ \text{u}$; $m(^{145}_{Z}\text{La}) = 144{,}921651\ \text{u}$; $m(^{88}_{35}\text{Br}) = 87{,}924074\ \text{u}$; $m_n = 1{,}008665\ \text{u}$; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$.

$\textbf{a) Justifique, indicando los principios que aplica, cuál de las reacciones nucleares propuestas no produce los productos mencionados: [1 punto]}$

$\textbf{i) }\boldsymbol{^{14}_{7}\text{N} + n \longrightarrow\ ^{14}_{6}\text{C} + p}$

$\textbf{ii) }\boldsymbol{^{28}_{14}\text{Si} + \alpha \longrightarrow\ ^{29}_{15}\text{P} + n}$

En toda reacción nuclear se conservan el número másico (número total de nucleones) y el número atómico (carga eléctrica). Basta con sumar los números de arriba y los de abajo a cada lado de la flecha. El neutrón es $^{1}_{0}n$, el protón $^{1}_{1}p$ y la partícula alfa, $^{4}_{2}\text{He}$.

i) Número másico:

$14 + 1 = 15 \qquad 14 + 1 = 15$

Número atómico:

$7 + 0 = 7 \qquad 6 + 1 = 7$

Las dos magnitudes se conservan, así que esta reacción sí puede producir los productos indicados.

ii) Número másico:

$28 + 4 = 32 \qquad 29 + 1 = 30$

Número atómico:

$14 + 2 = 16 \qquad 15 + 0 = 15$

Ninguna de las dos se conserva: faltan dos nucleones y una unidad de carga. La reacción que no produce los productos mencionados es la ii). Para que estuviese equilibrada, el producto tendría que ser $^{31}_{16}\text{S}$, o bien habría que emitir además otras partículas que se llevasen la diferencia.

$\textbf{b) i) Determine, indicando los principios aplicados, los valores de }\boldsymbol{c}\textbf{ y }\boldsymbol{Z}\textbf{ en la siguiente reacción nuclear: [1,5 puntos]}$

$\boldsymbol{^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}n \longrightarrow\ ^{145}_{Z}\text{La} + ^{88}_{35}\text{Br} + c\ ^{1}_{0}n}$

$\textbf{ii) Calcule la energía liberada cuando se fisionan un millón de núcleos de uranio siguiendo la reacción anterior.}$

i) Se aplican de nuevo la conservación del número másico y la del número atómico.

Del número másico se obtiene el número de neutrones emitidos:

$235 + 1 = 145 + 88 + c\cdot1 \Rightarrow c = 3$

Y del número atómico, el número atómico del lantano:

$92 + 0 = Z + 35 + 3\cdot0 \Rightarrow Z = 57$

La reacción completa es:

$^{235}_{92}\text{U} + ^{1}_{0}n \longrightarrow\ ^{145}_{57}\text{La} + ^{88}_{35}\text{Br} + 3\ ^{1}_{0}n$

ii) La energía liberada procede del defecto de masa de la reacción, según la equivalencia entre masa y energía de Einstein. Se calcula la diferencia entre la masa de los reactivos y la de los productos:

$\Delta m = \left(m_U + m_n\right) - \left(m_{La} + m_{Br} + 3\,m_n\right)$

$\Delta m = (235{,}043930 + 1{,}008665) - (144{,}921651 + 87{,}924074 + 3\cdot1{,}008665)$

$\Delta m = 236{,}052595 - 235{,}871720 = 0{,}180875\ \text{u}$

Se pasa a kilogramos y se aplica la equivalencia masa-energía:

$E = \Delta m\,c^2 = 0{,}180875\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2$

$E = 2{,}70\cdot10^{-11}\ \text{J}$

Esa es la energía que libera la fisión de un solo núcleo. Para un millón de núcleos:

$E_{\text{total}} = 10^{6}\cdot2{,}70\cdot10^{-11} = 2{,}70\cdot10^{-5}\ \text{J}$

La fisión de un millón de núcleos de uranio libera $2{,}70\cdot10^{-5}\ \text{J}$. La cifra parece pequeña, pero un millón de núcleos es una cantidad de materia despreciable: un solo gramo de uranio contiene del orden de $10^{21}$ núcleos.