Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Andalucía · 2024

a) Un rayo de luz monocromática duplica su longitud de onda al pasar del medio 1 al medio 2. i) Determine razonadamente la relación entre los índices de refracción de los medios. ii) Deduzca si el rayo se acerca o aleja de la normal a la superficie y explique si puede darse la reflexión total. [1 punto]

b) Sobre una lámina de caras planas y paralelas, rodeada de aire, incide un rayo de luz monocromática formando un ángulo de $80^\circ$ con la normal a las superficies de las láminas. La longitud de onda del rayo en la lámina vale $3\lambda_0/4$, siendo $\lambda_0$ la longitud de onda en el aire. i) Halle el índice de refracción en la lámina. ii) Calcule el ángulo de refracción en la lámina y represente en un esquema la trayectoria del rayo. iii) Obtenga el espesor de la lámina sabiendo que el rayo tarda $5{,}28\cdot10^{-10}\ \text{s}$ en atravesarla. Justifique sus respuestas. [1,5 puntos]

Datos: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$; $n_{\text{aire}} = 1$.

$\textbf{a) Un rayo de luz monocromática duplica su longitud de onda al pasar del medio 1 al medio 2. i) Determine razonadamente la relación entre los índices de refracción de los medios. ii) Deduzca si el rayo se acerca o aleja de la normal a la superficie y explique si puede darse la reflexión total. [1 punto]}$

i) Al cambiar de medio, la frecuencia de una onda no cambia, porque la impone el foco emisor. Lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda. Como el índice de refracción es:

$n = \frac{c}{v} = \frac{c}{\lambda\,f}$

el producto $n\,\lambda$ es el mismo en todos los medios, e igual a la longitud de onda en el vacío:

$n_1\,\lambda_1 = n_2\,\lambda_2$

Y como $\lambda_2 = 2\lambda_1$:

$n_2 = n_1\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{n_1}{2}$

El índice de refracción del segundo medio es la mitad del primero.

ii) Aplicando la ley de Snell:

$n_1\,\operatorname{sen}\hat\imath = n_2\,\operatorname{sen}\hat r \Rightarrow \operatorname{sen}\hat r = \frac{n_1}{n_2}\,\operatorname{sen}\hat\imath = 2\,\operatorname{sen}\hat\imath$

El seno del ángulo de refracción es mayor que el de incidencia, luego $\hat r > \hat\imath$ y el rayo se aleja de la normal. Es lo esperable: el segundo medio es menos refringente que el primero.

Precisamente por eso sí puede darse la reflexión total, que solo ocurre cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente. El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante, con $\hat r = 90^\circ$:

$\operatorname{sen}\hat\imath_L = \frac{n_2}{n_1} = \frac12 \Rightarrow \hat\imath_L = 30^\circ$

Para ángulos de incidencia mayores de $30^\circ$ no hay rayo refractado y toda la luz se refleja.

$\textbf{b) Sobre una lámina de caras planas y paralelas, rodeada de aire, incide un rayo de luz monocromática formando un ángulo de }\boldsymbol{80^\circ}\textbf{ con la normal a las superficies de las láminas. La longitud de onda del rayo en la lámina vale }\boldsymbol{3\lambda_0/4}\textbf{, siendo }\boldsymbol{\lambda_0}\textbf{ la longitud de onda en el aire. i) Halle el índice de refracción en la lámina. ii) Calcule el ángulo de refracción en la lámina y represente en un esquema la trayectoria del rayo. iii) Obtenga el espesor de la lámina sabiendo que el rayo tarda }\boldsymbol{5{,}28\cdot10^{-10}\ \text{s}}\textbf{ en atravesarla. Justifique sus respuestas. [1,5 puntos]}$

i) Se vuelve a usar que el producto del índice por la longitud de onda es el mismo en todos los medios:

$n_{\text{aire}}\,\lambda_0 = n\,\lambda$

$n = \frac{n_{\text{aire}}\,\lambda_0}{\lambda} = \frac{1\cdot\lambda_0}{3\lambda_0/4} = \frac43 = 1{,}33$










ii) Aplicando la ley de Snell en la primera cara:

$n_{\text{aire}}\,\operatorname{sen}80^\circ = n\,\operatorname{sen}\hat r$

$\operatorname{sen}\hat r = \frac{\operatorname{sen}80^\circ}{4/3} = 0{,}7386$

$\hat r = 47{,}6^\circ$





El rayo se acerca a la normal al entrar en la lámina, porque pasa a un medio más refringente. En la segunda cara ocurre lo contrario y, al ser las dos caras paralelas, el rayo emerge con el mismo ángulo de $80^\circ$ con el que incidió: sale paralelo al rayo incidente, simplemente desplazado.

iii) Primero se calcula la velocidad de la luz dentro de la lámina:

$v = \frac{c}{n} = \frac{3\cdot10^{8}}{4/3} = 2{,}25\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

Con ella y el tiempo del enunciado se obtiene el camino recorrido dentro de la lámina, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyo cateto es el espesor:

$d = v\,t = 2{,}25\cdot10^{8}\cdot5{,}28\cdot10^{-10} = 0{,}1188\ \text{m}$

Y proyectando sobre la dirección perpendicular a las caras:

$\cos\hat r = \frac{e}{d} \Rightarrow e = d\,\cos\hat r = 0{,}1188\cdot\cos 47{,}6^\circ$

$e = 8{,}01\cdot10^{-2}\ \text{m} = 8{,}01\ \text{cm}$

El espesor de la lámina es de $8{,}01\ \text{cm}$. Obsérvese que el rayo recorre dentro del vidrio 11,88 cm, bastante más que el espesor, porque entra muy inclinado.