Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Andalucía · 2024

a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima de oscilación de una onda armónica en las siguientes situaciones: i) se duplica la amplitud sin modificar el periodo; ii) se duplica la frecuencia sin modificar la amplitud. [1 punto]

b) En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación viene dada por $y(x,t) = 0{,}2\cdot\cos(0{,}2\pi\,x + 0{,}25\pi\,t + \pi)$ (S. I.). Calcule razonadamente: i) la frecuencia y la longitud de onda; ii) la velocidad de propagación de la onda, especificando su dirección y sentido de propagación; iii) la velocidad máxima de oscilación de la onda. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Demuestre razonadamente, a partir de la ecuación de onda, cómo varían la velocidad y la aceleración máxima de oscilación de una onda armónica en las siguientes situaciones: i) se duplica la amplitud sin modificar el periodo; ii) se duplica la frecuencia sin modificar la amplitud. [1 punto]}$

Se parte de la ecuación de una onda armónica y se derivan respecto del tiempo la elongación y la velocidad, que es como se obtienen la velocidad y la aceleración de oscilación de un punto del medio:

$y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t - k x)$

$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t - k x) \Rightarrow v_{y,\max} = A\,\omega$

$a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A\,\omega^2\,\operatorname{sen}(\omega t - k x) \Rightarrow a_{y,\max} = A\,\omega^2$

Y como la frecuencia angular se relaciona con el periodo y la frecuencia según:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$

i) Si se duplica la amplitud sin modificar el periodo, $\omega$ no cambia y las dos magnitudes dependen linealmente de $A$:

$v'_{y,\max} = (2A)\,\omega = 2\,v_{y,\max} \qquad a'_{y,\max} = (2A)\,\omega^2 = 2\,a_{y,\max}$

Tanto la velocidad máxima como la aceleración máxima de oscilación se duplican.

ii) Si se duplica la frecuencia sin modificar la amplitud, se duplica $\omega$:

$v'_{y,\max} = A\,(2\omega) = 2\,v_{y,\max} \qquad a'_{y,\max} = A\,(2\omega)^2 = 4\,a_{y,\max}$

La velocidad máxima se duplica y la aceleración máxima se hace cuatro veces mayor, porque depende del cuadrado de la frecuencia angular.

$\textbf{b) En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación viene dada por }\boldsymbol{y(x,t) = 0{,}2\cdot\cos(0{,}2\pi\,x + 0{,}25\pi\,t + \pi)}\textbf{ (S. I.). Calcule razonadamente: i) la frecuencia y la longitud de onda; ii) la velocidad de propagación de la onda, especificando su dirección y sentido de propagación; iii) la velocidad máxima de oscilación de la onda. [1,5 puntos]}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica para identificar sus parámetros:

$y(x,t) = A\,\cos(k x + \omega t + \varphi_0)$

$A = 0{,}2\ \text{m} \qquad k = 0{,}2\pi\ \text{rad/m} \qquad \omega = 0{,}25\pi\ \text{rad/s} \qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}$

i) La frecuencia se obtiene de la frecuencia angular:

$\omega = 2\pi f \Rightarrow f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{0{,}25\pi}{2\pi} = 0{,}125\ \text{Hz}$

Y la longitud de onda, del número de onda:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0{,}2\pi} = 10\ \text{m}$

ii) La velocidad de propagación es:

$v = \lambda\,f = 10\cdot0{,}125 = 1{,}25\ \text{m/s}$

o, equivalentemente, $v = \omega/k$. En cuanto al sentido, los términos en $x$ y en $t$ aparecen con el mismo signo dentro del argumento, lo que corresponde a una onda que se propaga en el sentido negativo del eje $X$:

$\vec v = -1{,}25\,\vec{\imath}\ \text{m/s}$

iii) La velocidad máxima de oscilación de un punto de la cuerda es:

$v_{y,\max} = A\,\omega = 0{,}2\cdot0{,}25\pi = 0{,}157\ \text{m/s}$

La onda avanza a $1{,}25\ \text{m/s}$ hacia la izquierda, mientras que cada punto de la cuerda oscila verticalmente con una velocidad que nunca supera los $0{,}157\ \text{m/s}$. Son dos velocidades distintas y no hay que confundirlas: la primera es la de propagación de la perturbación y la segunda, la del movimiento armónico de las partículas del medio.