Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2024

a) Responda razonadamente a las siguientes cuestiones: i) ¿Puede ser nulo el flujo magnético a través de una espira colocada en una región en la que existe un campo magnético? ii) El hecho de que la fuerza electromotriz inducida en una espira sea nula en un instante determinado, ¿implica que no hay flujo magnético en la espira en ese instante? [1 punto]

b) Una bobina formada por 100 espiras circulares de radio 5 cm está situada en el interior de un campo magnético uniforme dirigido en la dirección del eje de la bobina y de módulo $B(t) = 0{,}1 - 0{,}1\,t^2$ (S. I.). Determine: i) el flujo magnético en la bobina para $t = 2\ \text{s}$; ii) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para $t = 2\ \text{s}$; iii) el instante de tiempo en el que la fuerza electromotriz inducida es nula. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Responda razonadamente a las siguientes cuestiones: i) ¿Puede ser nulo el flujo magnético a través de una espira colocada en una región en la que existe un campo magnético? ii) El hecho de que la fuerza electromotriz inducida en una espira sea nula en un instante determinado, ¿implica que no hay flujo magnético en la espira en ese instante? [1 punto]}$

Las dos cuestiones se contestan a partir de la definición de flujo magnético a través de una superficie plana y de la ley de Faraday-Lenz:

$\Phi = \vec B\cdot\vec S = B\,S\,\cos\alpha \qquad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

i) Sí puede serlo. El flujo depende del ángulo $\alpha$ que forman el campo y el vector superficie. Si el campo es paralelo al plano de la espira, es perpendicular a su vector superficie:

$\alpha = 90^\circ \Rightarrow \cos\alpha = 0 \Rightarrow \Phi = 0$

Hay campo magnético en la región, pero ninguna línea de campo atraviesa la espira, y el flujo es nulo.

ii) No lo implica. La fuerza electromotriz inducida no depende del valor del flujo, sino de su derivada respecto del tiempo. Si el flujo es constante, aunque valga mucho, su derivada es nula y no se induce fuerza electromotriz:

$\Phi = \text{constante} \neq 0 \Rightarrow \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = 0$

Es lo que ocurre con una espira en reposo dentro de un campo magnético constante.

$\textbf{b) Una bobina formada por 100 espiras circulares de radio 5 cm está situada en el interior de un campo magnético uniforme dirigido en la dirección del eje de la bobina y de módulo }\boldsymbol{B(t) = 0{,}1 - 0{,}1\,t^2}\textbf{ (S. I.). Determine: i) el flujo magnético en la bobina para }\boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{; ii) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para }\boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{; iii) el instante de tiempo en el que la fuerza electromotriz inducida es nula. [1,5 puntos]}$










El campo va en la dirección del eje de la bobina, es decir, es paralelo al vector superficie de sus espiras, de manera que $\cos\alpha = 1$ y el flujo total a través de las $N$ espiras es:

$\Phi = N\,B(t)\,S$





Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional y se calcula la superficie de una espira:

$R = 5\ \text{cm} = 5\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$S = \pi R^2 = \pi\,(5\cdot10^{-2})^2 = 7{,}85\cdot10^{-3}\ \text{m}^2$

i) Para $t = 2\ \text{s}$ el valor del campo es:

$B(2) = 0{,}1 - 0{,}1\cdot2^2 = -0{,}3\ \text{T}$

El signo negativo indica que en ese instante el campo ya ha invertido su sentido respecto del que tenía inicialmente. El flujo vale:

$\Phi(2) = 100\cdot(-0{,}3)\cdot7{,}85\cdot10^{-3} = -0{,}236\ \text{Wb}$

ii) Aplicando la ley de Faraday-Lenz, se deriva el flujo respecto del tiempo:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N\,S\,\frac{dB}{dt} = -N\,S\,(-0{,}2\,t)$

$\varepsilon(t) = 0{,}2\,N\,S\,t$

$\varepsilon(2) = 0{,}2\cdot100\cdot7{,}85\cdot10^{-3}\cdot2 = 0{,}314\ \text{V}$

iii) La fuerza electromotriz se anula cuando lo hace la derivada del campo:

$0{,}2\,N\,S\,t = 0 \Rightarrow t = 0\ \text{s}$

En el instante inicial el campo pasa por su valor máximo y su derivada es nula, de modo que no se induce fuerza electromotriz. A partir de ahí el campo varía cada vez más deprisa y la fuerza electromotriz crece linealmente con el tiempo.