Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

a) i) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta. ii) La masa y el radio de la Tierra son 81 y 3,67 veces la masa y el radio de la Luna, respectivamente. ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape desde las superficies de la Tierra y la Luna? Razone su respuesta. [1 punto]

b) Se desea poner alrededor de Júpiter un satélite artificial en órbita circular estacionaria (igual periodo que el planeta). Un día en Júpiter es 0,41 veces el día terrestre y la masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra. Determine: i) el radio orbital alrededor de Júpiter; ii) la relación que existe entre los radios orbitales de dos satélites que orbitan estacionariamente alrededor de la Tierra y de Júpiter. [1,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Júpiter}} = 1{,}9\cdot10^{27}\ \text{kg}$; $T_{\text{Tierra}} = 24\ \text{h}$.

$\textbf{a) i) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta. ii) La masa y el radio de la Tierra son 81 y 3,67 veces la masa y el radio de la Luna, respectivamente. ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape desde las superficies de la Tierra y la Luna? Razone su respuesta. [1 punto]}$

i) La velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de un planeta para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo y no actúa ninguna otra fuerza, la energía mecánica se conserva:

$E_m(R) = E_m(\infty)$

$-G\frac{M\,m}{R} + \frac12\,m\,v_e^2 = 0 + 0$

$\frac12\,v_e^2 = G\frac{M}{R}$

$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$

ii) La velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo lanzado, sino del cociente entre la masa y el radio del planeta. Aplicando la expresión anterior a los dos astros y dividiendo:

$\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \sqrt{\frac{M_T}{R_T}\cdot\frac{R_L}{M_L}}$

Y como $M_T = 81\,M_L$ y $R_T = 3{,}67\,R_L$:

$\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \sqrt{\frac{81}{3{,}67}} = 4{,}70$

La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es 4,70 veces mayor que la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.

$\textbf{b) Se desea poner alrededor de Júpiter un satélite artificial en órbita circular estacionaria (igual periodo que el planeta). Un día en Júpiter es 0,41 veces el día terrestre y la masa de Júpiter es 318 veces la de la Tierra. Determine: i) el radio orbital alrededor de Júpiter; ii) la relación que existe entre los radios orbitales de dos satélites que orbitan estacionariamente alrededor de la Tierra y de Júpiter. [1,5 puntos]}$










i) La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\frac{M_J\,m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$

de donde se obtiene la tercera ley de Kepler:

$r^3 = \frac{G\,M_J\,T^2}{4\pi^2}$





Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional. El periodo de la órbita estacionaria es el del propio planeta:

$T_J = 0{,}41\cdot24\ \text{h} = 0{,}41\cdot24\cdot3600 = 3{,}5424\cdot10^{4}\ \text{s}$

Y se sustituye:

$r^3 = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}9\cdot10^{27}\cdot(3{,}5424\cdot10^{4})^2}{4\pi^2} = 4{,}03\cdot10^{24}\ \text{m}^3$

$r = 1{,}59\cdot10^{8}\ \text{m}$

El radio de la órbita estacionaria alrededor de Júpiter es $1{,}59\cdot10^{8}\ \text{m}$, unos 159 000 km.

ii) Aplicando la misma expresión a los dos planetas y dividiendo miembro a miembro:

$\frac{r_J^3}{r_T^3} = \frac{M_J\,T_J^2}{M_T\,T_T^2}$

$\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{\frac{M_J}{M_T}\left(\frac{T_J}{T_T}\right)^2} = \sqrt[3]{318\cdot(0{,}41)^2}$

$\frac{r_J}{r_T} = 3{,}77$

El radio de la órbita estacionaria de Júpiter es 3,77 veces el de la órbita geoestacionaria terrestre, a pesar de que el día joviano es mucho más corto: pesa más el factor de masa que el de periodo.