Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

a) Una población de 25 000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15 000, 5000, 3000 y 2000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición. (1 punto)

b) Dada la población $P=\{2,4,6\}$, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Una población de 25 000 personas se ha dividido en cuatro estratos con tamaños 15 000, 5000, 3000 y 2000 personas respectivamente. En esa población se ha realizado un muestreo estratificado con afijación proporcional, en el que se han elegido al azar 36 personas del tercer estrato. Determine el tamaño de la muestra total obtenida con este muestreo y su composición. (1 punto)}$

En un muestreo estratificado con afijación proporcional, la fracción de muestreo es la misma en todos los estratos.

$f=\dfrac{n_i}{N_i}=\dfrac{n}{N}$

Con los datos del tercer estrato:

$f=\dfrac{36}{3\,000}=0{,}012$

El tamaño de la muestra total es

$n=N\cdot f=25\,000\cdot 0{,}012=300$

Aplicamos esa misma fracción a cada estrato.

$\text{Estrato}$	$\text{Tamaño } N_i$	$n_i=0{,}012\cdot N_i$
1.º	$15\,000$	180
2.º	$5\,000$	60
3.º	$3\,000$	36
4.º	$2\,000$	24
Total	$25\,000$	300

La muestra total consta de 300 personas: 180 del primer estrato, 60 del segundo, 36 del tercero y 24 del cuarto.

$\textbf{b) Dada la población } \boldsymbol{P=\{2,4,6\}}\textbf{, construya todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y halle la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas esas muestras. (1,5 puntos)}$

En un muestreo aleatorio simple se extrae con reemplazamiento, así que con tres elementos y muestras de tamaño 2 hay $3^2=9$ muestras posibles. Las escribimos con su media.

$\text{Muestra}$	$\text{Media}$	$\text{Muestra}$	$\text{Media}$	$\text{Muestra}$	$\text{Media}$
$(2,2)$	2	$(4,2)$	3	$(6,2)$	4
$(2,4)$	3	$(4,4)$	4	$(6,4)$	5
$(2,6)$	4	$(4,6)$	5	$(6,6)$	6

Calculamos primero los parámetros de la población.

$\mu=\dfrac{2+4+6}{3}=4$

$\sigma^2=\dfrac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}=\dfrac{4+0+4}{3}=\dfrac{8}{3}$

La distribución de las medias muestrales cumple

$\mu_{\bar{X}}=\mu \qquad\text{y}\qquad \sigma_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$\sigma_{\bar{X}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}} =\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}1547$

Se comprueba directamente con la tabla: la media de las nueve medias es $\dfrac{36}{9}=4$ y la varianza

$\sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{4+1+0+1+0+1+0+1+4}{9}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$

La desviación típica de las medias muestrales es $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1{,}1547$.