Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función

$f(x)=\begin{cases} -x+2 & \text{si } x\le 2 \\[6pt] -x^2+6x-8 & \text{si } 2<x<4 \\[6pt] \dfrac{x-3}{x} & \text{si } x\ge 4 \end{cases}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f$ en su dominio. (1,25 puntos)

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$. (0,75 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\,dx$. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Estudie la continuidad y derivabilidad de } \boldsymbol{f}\textbf{ en su dominio. (1,25 puntos)}$

Las dos primeras ramas son polinómicas y la tercera es racional, con el único punto problemático en $x=0$, que no pertenece a $[4,+\infty)$. Así pues, hay que estudiar únicamente los puntos $x=2$ y $x=4$, donde cambia la expresión.

En $x=2$:

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=-2+2=0 \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=-4+12-8=0$

Los dos límites laterales coinciden con $f(2)=0$, luego la función es continua en $x=2$.

En $x=4$:

$\lim_{x\to 4^-}f(x)=-16+24-8=0 \qquad \lim_{x\to 4^+}f(x)=\dfrac{4-3}{4}=\dfrac{1}{4}$

Los límites laterales son distintos, luego la función no es continua en $x=4$: presenta una discontinuidad de salto finito, de amplitud $\dfrac{1}{4}$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{4\}$.

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales en $x=2$, que es donde la función sí es continua.

$f'(x)= \begin{cases} -1 & \text{si } x<2 \\ -2x+6 & \text{si } 2<x<4 \\ \dfrac{3}{x^2} & \text{si } x>4 \end{cases}$

$f'(2^-)=-1 \qquad f'(2^+)=-4+6=2$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $x=2$: la gráfica presenta ahí un punto anguloso. En $x=4$ tampoco es derivable, porque ni siquiera es continua.

La función es derivable en $\mathbb{R}-\{2,4\}$.



$\textbf{b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Estudiamos el signo de la derivada rama a rama.

En $(-\infty,2)$ la derivada vale $-1<0$, luego la función decrece.

En $(2,4)$ igualamos a cero: $-2x+6=0 \Rightarrow x=3$, que pertenece al intervalo.

En $(4,+\infty)$ la derivada vale $\dfrac{3}{x^2}>0$, luego la función crece.



$\begin{cases} f'(0)=-1<0 \\ f'(2{,}5)=-5+6=1>0 \\ f'(3{,}5)=-7+6=-1<0 \\ f'(5)=\dfrac{3}{25}>0 \end{cases}$

La función decrece en $(-\infty,2)\cup(3,4)$ y crece en $(2,3)\cup(4,+\infty)$. En $x=3$ hay un máximo relativo, $f(3)=1$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{2}^{3} f(x)\,dx}\textbf{. (0,5 puntos)}$

En el intervalo $[2,3]$ la función viene dada por la segunda rama, así que no hay que partir la integral.

$\int_{2}^{3}\left(-x^2+6x-8\right)dx =\left[-\dfrac{x^3}{3}+3x^2-8x\right]_{2}^{3}$

$=\left(-9+27-24\right)-\left(-\dfrac{8}{3}+12-16\right) =-6-\left(-\dfrac{20}{3}\right)=\dfrac{-18+20}{3}=\dfrac{2}{3}$

El valor de la integral es $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67$.