Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función

$f(x)=\begin{cases} 2+\dfrac{a}{x-1} & \text{si } x<0 \\[8pt] a+b\,e^{x} & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$

a) Calcule los valores $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en su dominio. (1,25 puntos)

b) Para $a=2$ y $b=-2$, estudie la monotonía de la función $f$ y calcule sus extremos relativos. (0,75 puntos)

c) Para $a=2$ y $b=-2$, determine las ecuaciones de las asíntotas de $f$, si existen. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Calcule los valores } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que la función sea continua y derivable en su dominio. (1,25 puntos)}$

La primera rama es una función racional cuyo único punto problemático es $x=1$, que no pertenece a $(-\infty,0)$; la segunda es una exponencial. Ambas son, pues, continuas y derivables donde se aplican, y el único punto que hay que estudiar es $x=0$.

Para que sea continua en $x=0$ los límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=2+\dfrac{a}{0-1}=2-a \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=a+b\,e^{0}=a+b$

$2-a=a+b \Rightarrow 2a+b=2$

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales.

$f'(x)= \begin{cases} -\dfrac{a}{(x-1)^2} & \text{si } x<0 \\[8pt] b\,e^{x} & \text{si } x>0 \end{cases}$

$f'(0^-)=-\dfrac{a}{(0-1)^2}=-a \qquad f'(0^+)=b \Rightarrow -a=b$

Reunimos las dos condiciones en un sistema y sustituimos $b=-a$ en la primera.

$2a-a=2 \Rightarrow a=2 \Rightarrow b=-2$

La función es continua y derivable en su dominio cuando $a=2$ y $b=-2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-2}\textbf{, estudie la monotonía de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y calcule sus extremos relativos. (0,75 puntos)}$

Con esos valores la función es

$f(x)= \begin{cases} 2+\dfrac{2}{x-1} & \text{si } x<0 \\[8pt] 2-2e^{x} & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$

Derivamos cada rama.

$f'(x)= \begin{cases} -\dfrac{2}{(x-1)^2} & \text{si } x<0 \\[8pt] -2e^{x} & \text{si } x>0 \end{cases}$

En la primera rama el numerador es $-2$ y el denominador un cuadrado, siempre positivo, así que la derivada es negativa. En la segunda, $e^{x}>0$ para todo $x$, luego $-2e^{x}<0$.

La derivada es negativa en todo el dominio y no se anula en ningún punto: la función decrece en todo $\mathbb{R}$ y no tiene extremos relativos.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-2}\textbf{, determine las ecuaciones de las asíntotas de } \boldsymbol{f}\textbf{, si existen. (0,5 puntos)}$

Asíntotas verticales. El único valor que anularía un denominador es $x=1$, pero en $x=1$ la función viene dada por la rama $2-2e^{x}$, que está definida y es continua. No hay asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. Estudiamos el límite en cada extremo del dominio.

$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(2+\dfrac{2}{x-1}\right)=2+0=2$

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(2-2e^{x}\right)=-\infty$

La recta $y=2$ es asíntota horizontal cuando $x$ tiende a menos infinito. Por la derecha no hay asíntota horizontal.

Asíntota oblicua por la derecha $y=mx+n$:

$m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2-2e^{x}}{x}=-\infty$

Como la pendiente no es un número real, tampoco hay asíntota oblicua.



La única asíntota de $f$ es la horizontal $y=2$ cuando $x\to-\infty$.