Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

a) Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

$x+2y\le 13 \qquad x-y\le 4 \qquad x-2y\ge -7 \qquad x+y\ge 5$ (1,75 puntos)

b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x,y)=x+y$ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Represente la región factible definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:}$

$\boldsymbol{x+2y\le 13 \qquad x-y\le 4 \qquad x-2y\ge -7 \qquad x+y\ge 5}\textbf{ (1,75 puntos)}$

Cada inecuación define un semiplano. Dibujamos las cuatro rectas y elegimos, en cada caso, el semiplano correcto probando con un punto interior; aquí sirve $(4,3)$, que cumple las cuatro. La región factible es la zona coloreada.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: $\begin{cases} x-y=4 \\ x+y=5 \end{cases}$. Sumando las dos ecuaciones:

$2x=9 \Rightarrow x=\dfrac{9}{2} \Rightarrow y=5-\dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left(\dfrac{9}{2},\dfrac{1}{2}\right)$

Vértice $B$: $\begin{cases} x-y=4 \\ x+2y=13 \end{cases}$. Restando la primera de la segunda:

$3y=9 \Rightarrow y=3 \Rightarrow x=7 \Rightarrow B(7,3)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x+2y=13 \\ x-2y=-7 \end{cases}$. Sumando las dos ecuaciones:

$2x=6 \Rightarrow x=3 \Rightarrow 2y=10 \Rightarrow y=5 \Rightarrow C(3,5)$

Vértice $D$: $\begin{cases} x-2y=-7 \\ x+y=5 \end{cases}$. Restando la primera de la segunda:

$3y=12 \Rightarrow y=4 \Rightarrow x=1 \Rightarrow D(1,4)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A\left(\dfrac{9}{2},\dfrac{1}{2}\right)$, $B(7,3)$, $C(3,5)$ y $D(1,4)$.

$\textbf{b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función objetivo } \boldsymbol{F(x,y)=x+y}\textbf{ en la región anterior y determine los puntos en los que se alcanzan. (0,75 puntos)}$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices.

$F\left(\dfrac{9}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{2}+\dfrac{1}{2}=5$

$F(7,3)=10$

$F(3,5)=8$

$F(1,4)=5$

El valor máximo es $10$ y se alcanza en el vértice $B(7,3)$.

El valor mínimo es $5$, y se alcanza a la vez en los vértices $A$ y $D$. Cuando la función objetivo toma el mismo valor en dos vértices consecutivos, lo toma en todos los puntos del lado que los une: aquí ese lado está sobre la recta $x+y=5$, que es precisamente una recta de nivel de $F$.

El mínimo vale $5$ y se alcanza en todos los puntos del segmento $AD$; hay, por tanto, infinitas soluciones.